for循环次数优化

1、今天遇到了一道有意思的数学题：

　　政府采购一批IT配件，总预算10000元，条件如下：

• 　移动硬盘每个500，普通硬盘每个300，U盘3个100；
•    所有配件个数加起来100个，并且钱刚好花完；

      问题来了： 移动硬盘、普通硬盘、U盘分别买多少个？

　

　 这里原理并不复杂，用a、b、c分别表示3种设备的数量，得到如下等式：

　a+b+c=100;

    a*500+b*300+c*100/3 = 10000;　

    

2、根据上述的限制条件，普通的开发人员不动脑立刻就能想到for循环的解决办法如下：

　　

 　　这么做的时间复杂度是0(N^3）；这里还好每次循环只有100次，所以3次循环一共只有10^6次。如果每次循环1000次了，3层嵌套就是10^9=1亿次了，电脑明显会卡顿。如果这样面试大厂，分分钟被面试官教育人生，offer想都不用想了！

3、第一种优化思路：移动硬盘500元一个，10000元最多买20个；普通硬盘300元一个，10000元最多买33个；U盘100元3个，那么U盘个数肯定是3的倍数，换句话说除以3余数是0，所以新的表达式如下：

　　a+b+c=100;

       a*500+b*300+c*100/3 = 10000;　

      其中：    0=<a<=20;  0=<b<=33; c%3=0&c>=0;    根据这种思路的代码如下：

     

 　　这次结果是对的，但是循环次数已经降到660次，时间复杂度是O(n^2)，少了一个数量级；这种代码普通电脑计算时已经毫无压力！

4、其实还有优化空间，过程推导如下:

•        a+b+c=100;     ----- 表达式1
•        a*500+b*300+c*100/3 = 10000;　 ----- 表达式2
•       表达式2两边同时除以100，乘以3得到：15a+9b+c=300;   -----表达式3
•       由表达式1得到：c=100-a-b, 带入表达式3替换c，最终得到：7a+4b=100  =>  b = 25-7*a/4；-----表达式4
•       因为b必须是正整数，所以a必须是4的倍数，并且a<=12, 这里记作a=4*i（0=<i<=3）;
•       所以b=25-7*(4*i)/4=25-7*i
•       又所以c=100-a-b=100-4*i-（25-7*i）=75+3*i

     所以整个代码优化如下：这里只循环4次就搞定了！ 本质上是：人为已经把a、b、c的取值计算方式想好，只是通过计算机落实而已！前面两种方式纯粹是通过计算机的算力暴力求解，后面这种是人为优化解法！

    

 　  循环次数进一步降到4次，时间复杂度降低到O(n)；空间复杂度降低到O(1);　

　　完整代码如下：

#include <iostream>
#include <ctime>
#include <chrono>

using std::chrono::high_resolution_clock;
using std::chrono::milliseconds;

int main()
{
    high_resolution_clock::time_point beginTime1 = high_resolution_clock::now();
    for (int a=0; a<=100;a++)
    {
        for (int b=0;b<=100;b++) 
        {
            for (int c = 0; c <= 100; c++) {
                if ((a*500+b*300+c*100/3 == 10000)&&(a+b+c==100)) 
                {
                    printf("移动硬盘：%d； 普通硬盘：%d; U盘：%d
",a,b,c);
                }
            }
        }
    }
    high_resolution_clock::time_point endTime1 = high_resolution_clock::now();
    milliseconds timeInterval1 = std::chrono::duration_cast<milliseconds>(endTime1 - beginTime1);
    std::cout << "运行耗时:"<< timeInterval1.count() << "ms
";
    printf("===================================================================>
");

    high_resolution_clock::time_point beginTime2 = high_resolution_clock::now();
    for (int a = 0; a <= 10000/500; a++)
    {
        for (int b = 0; b <= 10000/300; b++)
        {
            int c = 100 - a - b;
            if (c % 3 != 0) continue;
            if (a * 500 + b * 300 + c * 100 / 3 == 10000)
            {
                printf("移动硬盘：%d； 普通硬盘：%d; U盘：%d
", a, b, c);
            }
         
        }
    }
    high_resolution_clock::time_point endTime2 = high_resolution_clock::now();
    milliseconds timeInterval2 = std::chrono::duration_cast<milliseconds>(endTime2 - beginTime2);
    std::cout << "运行耗时:" << timeInterval2.count() << "ms
";
    printf("===================================================================>
");

    for (int i = 0; i <= 3; i++) 
    {
        printf("移动硬盘：%d； 普通硬盘：%d; U盘：%d
", 4*i, 25-7*i, 75+3*i);
    }


}