费马小定理

定义

对于质数 (p)，当 (a) 是一个与 (p) 互质的整数时有：

[a^{p-1}equiv 1quad (mod; p) ]

当然也可以化成：

[a^pequiv aquad (mod; p) ]

证明

数学归纳法

1. 当 (a=0) 时，显然成立。

2. 当 (a^pequiv aquad (mod;p)) 成立时：

   [(a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+dots+C^{p-1}_{p}a+1 ag1 ]

3. 然后我们根据 ((1)) 式和 (p\,|\,C_{p}^{i};(i eq p,0)) 可以得到：

   [(a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+dots+C^{p-1}_{p}a+1 equiv a^p+1quad(mod;p) ]

4. 因为我们已知 (a^pequiv aquad (mod;p)) 所以：

   [(a+1)^pequiv a^p+1equiv a+1quad(mod;p) ]

欧拉定理证明

还未了解欧拉定理的可以去本人博客查看，其实费马小定理就是欧拉定理的特殊情况：

• 已知欧拉定理 (a^{varphi(p)}equiv 1quad(mod;p)) ，当 (p) 是质数时， (varphi(p) =p-1) 。

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