汽车加油行驶问题（分层图最短路）

汽车加油行驶问题

时空限制1000ms / 256MB

题目描述

给定一个 N×N 的方形网格，设其左上角为起点◎，坐标(1,1)，X 轴向右为正，Y 轴向下为正，每个方格边长为 1 ，如图所示。

一辆汽车从起点◎出发驶向右下角终点▲，其坐标为 (N,N)。

在若干个网格交叉点处，设置了油库，可供汽车在行驶途中加油。汽车在行驶过程中应遵守如下规则:

1. 汽车只能沿网格边行驶，装满油后能行驶 K 条网格边。出发时汽车已装满油，在起点与终点处不设油库。

2. 汽车经过一条网格边时，若其 X 坐标或 Y 坐标减小，则应付费用 B ，否则免付费用。

3. 汽车在行驶过程中遇油库则应加满油并付加油费用 A。

4. 在需要时可在网格点处增设油库，并付增设油库费用 C(不含加油费用A )。

5. N,K,A,B,C 均为正整数， 且满足约束: 2≤N≤100,2≤K≤10。

设计一个算法，求出汽车从起点出发到达终点所付的最小费用。

输入输出格式

输入格式：

文件的第一行是 N,K,A,B,C 的值。

第二行起是一个N×N 的 0−1 方阵,每行 N 个值,至 N+1 行结束。

方阵的第 i 行第 j 列处的值为 1 表示在网格交叉点 (i,j) 处设置了一个油库,为 0 时表示未设油库。各行相邻两个数以空格分隔。

输出格式：

程序运行结束时,输出最小费用。

输入输出样例

输入样例： 

9 3 2 3 6
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0
1 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0

输出样例： 

12

说明

2≤n≤100,2≤k≤10

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4009

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分层图最短路。这个汽车只能走k步的确是一个比较烦人的条件，但是k很小，所以可以考虑用分层图来约束这个k。即总共建k+1层图，只有层与层之间有边，汽车每走一步就会向上移动一层。建边规则满足题目要求即可。

参考博客：https://www.luogu.org/blog/31293/solution-p4009

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200005
using namespace std;
int Map[105][105];
int num[105][105][15];

struct ss
{
    int v,next,w;
};
ss edg[N*4];
int head[N],now_edge=0;

void addedge(int u,int v,int w)
{
    edg[now_edge]=(ss){v,head[u],w};
    head[u]=now_edge++;
}
int dis[N];
int vis[N]={0};

void spfa()
{
    for(int i=0;i<N;i++)dis[i]=INT_MAX/2;
    dis[num[1][1][0]]=0;
    queue<int>q;
    q.push(num[1][1][0]);
    
    vis[num[1][1][0]]=1;
    
    while(!q.empty())
    {
        int now=q.front();
        q.pop();
        vis[now]=0;
        
        for(int i=head[now];i!=-1;i=edg[i].next)
        {
            int v=edg[i].v;
            if(dis[v]>dis[now]+edg[i].w)
            {
                dis[v]=dis[now]+edg[i].w;
                
                if(!vis[v])
                {
                    q.push(v);
                    vis[v]=1;
                }
            }
        }
    }
}


int main()
{
    int n,k,a,b,c;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d %d %d %d %d",&n,&k,&a,&b,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&Map[i][j]);
    
    int cnt=1;
    for(int kk=0;kk<=k;kk++)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        num[i][j][kk]=cnt++;
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        if(i+1<=n)addedge(num[i][j][0],num[i+1][j][1],0);
        if(j+1<=n)addedge(num[i][j][0],num[i][j+1][1],0);
        if(i-1>=1)addedge(num[i][j][0],num[i-1][j][1],b);
        if(j-1>=1)addedge(num[i][j][0],num[i][j-1][1],b);
    }
    
    for(int kk=1;kk<k;kk++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    if(!Map[i][j])
     {
        if(i+1<=n)addedge(num[i][j][kk],num[i+1][j][kk+1],0);
        if(j+1<=n)addedge(num[i][j][kk],num[i][j+1][kk+1],0);
        if(i-1>=1)addedge(num[i][j][kk],num[i-1][j][kk+1],b);
        if(j-1>=1)addedge(num[i][j][kk],num[i][j-1][kk+1],b);
        addedge(num[i][j][kk],num[i][j][0],c+a);
    }
    else
    {
        addedge(num[i][j][kk],num[i][j][0],a);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    if(!Map[i][j])
    {
        addedge(num[i][j][k],num[i][j][0],c+a);
    }
    else
    {
        addedge(num[i][j][k],num[i][j][0],a);
    }
    
    spfa();
    int ans=INT_MAX;
    for(int i=0;i<=k;i++)ans=min(ans,dis[num[n][n][i]]);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}