机器学习中梯度下降法和牛顿法的比较

在机器学习的优化问题中，梯度下降法和牛顿法是常用的两种凸函数求极值的方法，他们都是为了求得目标函数的近似解。在逻辑斯蒂回归模型的参数求解中，一般用改良的梯度下降法，也可以用牛顿法。由于两种方法有些相似，我特地拿来简单地对比一下。下面的内容需要读者之前熟悉两种算法。

梯度下降法

梯度下降法用来求解目标函数的极值。这个极值是给定模型给定数据之后在参数空间中搜索找到的。迭代过程为：

可以看出，梯度下降法更新参数的方式为目标函数在当前参数取值下的梯度值，前面再加上一个步长控制参数alpha。梯度下降法通常用一个三维图来展示，迭代过程就好像在不断地下坡，最终到达坡底。为了更形象地理解，也为了和牛顿法比较，这里我用一个二维图来表示：

懒得画图了直接用这个展示一下。在二维图中，梯度就相当于凸函数切线的斜率，横坐标就是每次迭代的参数，纵坐标是目标函数的取值。每次迭代的过程是这样：

1. 首先计算目标函数在当前参数值的斜率（梯度），然后乘以步长因子后带入更新公式，如图点所在位置（极值点右边），此时斜率为正，那么更新参数后参数减小，更接近极小值对应的参数。
2. 如果更新参数后，当前参数值仍然在极值点右边，那么继续上面更新，效果一样。
3. 如果更新参数后，当前参数值到了极值点的左边，然后计算斜率会发现是负的，这样经过再一次更新后就会又向着极值点的方向更新。

根据这个过程我们发现，每一步走的距离在极值点附近非常重要，如果走的步子过大，容易在极值点附近震荡而无法收敛。解决办法：将alpha设定为随着迭代次数而不断减小的变量，但是也不能完全减为零。

梯度下降法的缺点：

　　（1）靠近极小值时收敛速度减慢；

　　（2）直线搜索时可能会产生一些问题；

　　（3）可能会“之字形”地下降。

 梯度下降的算法调优：

在使用梯度下降时，需要进行调优。哪些地方需要调优呢？

　　1. 算法的步长选择。在前面的算法描述中，我提到取步长为1，但是实际上取值取决于数据样本，可以多取一些值，从大到小，分别运行算法，看看迭代效果，如果损失函数在变小，说明取值有效，否则要增大步长。前面说了。步长太大，会导致迭代过快，甚至有可能错过最优解。步长太小，迭代速度太慢，很长时间算法都不能结束。所以算法的步长需要多次运行后才能得到一个较为优的值。

　　2. 算法参数的初始值选择。 初始值不同，获得的最小值也有可能不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；当然如果损失函数是凸函数则一定是最优解。由于有局部最优解的风险，需要多次用不同初始值运行算法，关键损失函数的最小值，选择损失函数最小化的初值。

　　3.归一化。由于样本不同特征的取值范围不一样，可能导致迭代很慢，为了减少特征取值的影响，可以对特征数据归一化，也就是对于每个特征x，求出它的期望x¯¯¯和标准差std(x)，然后转化为：这样特征的新期望为0，新方差为1，迭代次数可以大大加快。

牛顿法

首先得明确，牛顿法是为了求解函数值为零的时候变量的取值问题的，具体地，当要求解 f(θ)=0时，如果 f可导，那么可以通过迭代公式

来迭代求得最小值。通过一组图来说明这个过程。

当应用于求解最大似然估计的值时，变成ℓ′(θ)=0的问题。这个与梯度下降不同，梯度下降的目的是直接求解目标函数极小值，而牛顿法则变相地通过求解目标函数一阶导为零的参数值，进而求得目标函数最小值。那么迭代公式写作：

当θ是向量时，牛顿法可以使用下面式子表示：

其中H叫做海森矩阵，其实就是目标函数对参数θ的二阶导数。

通过比较牛顿法和梯度下降法的迭代公式，可以发现两者及其相似。海森矩阵的逆就好比梯度下降法的学习率参数alpha。牛顿法收敛速度相比梯度下降法很快，而且由于海森矩阵的的逆在迭代中不断减小，起到逐渐缩小步长的效果。

牛顿法的优缺点总结：

　　优点：二阶收敛，收敛速度快；

　　缺点：牛顿法是一种迭代算法，每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，计算比较复杂。