不能再咕咕了，学了点好东西。
引入
分层图是啥呢？
看到几乎没有讲这个的（那我也不讲了），那我简单说下吧
将节点分在不同有特点的层次中形成的图。
就是这样子的：
可以发现，每层都是一样的，当然，这不是分层图的唯一构造，具体的话......看后边吧
分层图最短路
讲的清楚的真的少......
一般模型
对一个图，可以选择若干条边进行转换，求最短路。
一脸懵逼？？
那就看题吧。
(T1).
题目链接：P4568 [JLOI2011]飞行路线
看起来毫无头绪，只因为不会分层图。
我们依题意构造(k+1)层相同原边权的图，然后每层有联系的点(即相连的点）连上边权为(0)的边,跑常规最短路即可。
注意的事：
(1).沟通不同层之间的边只连相邻层，且方向是从编号小的层到编号大的层。
其实很简单，我们如果往上走就浪费次数了且一步用多次免费也是不允许的。
(2).如果没有用(k)次免费就到了，怎么办？
我们考虑将每一层的终点与下一层（或最后一层）的终点连上边权为(0)的点。
这样，如果没有用完即到达（即到达的终点不在最后一层），这样保证有一个花费为(0)的“虚假路径”。
（盗张图，这位大佬的图没有连终点，那就脑补一条从(4)到(9)的有向边吧：
对于样例：
其实就是很套路的题啦。
(Code):
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=220005;
const int inf=2147483647;
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > >q;
int dis[MAXN],vis[MAXN]={0};
int n,m,k,s,t;
int l,r,g;
struct node
{
int to,nxt,w;
}e[50005*42+15];
int head[MAXN],cnt=0;
void add(int u,int v,int c)
{
e[++cnt].to=v;
e[cnt].nxt=head[u];
e[cnt].w=c;
head[u]=cnt;
}
void dij()
{
while(!q.empty())
{
int g=q.top().second;
q.pop();
if(vis[g]) continue;
vis[g]=1;
for(int i=head[g];i;i=e[i].nxt)
{
int j=e[i].to;
if(dis[j]>dis[g]+e[i].w)
{
dis[j]=dis[g]+e[i].w;
q.push(make_pair(dis[j],j));
}
}
}
return;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s,&t);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&l,&r,&g);
add(l,r,g),add(r,l,g);
for(int j=1;j<=k;j++)
{
add(n*(j-1)+l,n*j+r,0);
add(n*(j-1)+r,n*j+l,0);
add(n*j+l,n*j+r,g);
add(n*j+r,n*j+l,g);
}
}
for(int i=1;i<=k;i++) add(n*(i-1)+t,n*i+t,0);
q.push(make_pair(0,s));
for(int i=0;i<=n*(k+1);i++) dis[i]=inf;
dis[s]=0;
dij();
printf("%d
",dis[n*k+t]);
return 0;
}
分析：时间复杂度是多少呢？
显然这个图有((k+1)n)个节点，那么复杂度是(O(knlog kn))；
那么一般来说，空间开多大保险呢？
对于点数组（存点信息的）有((k+1)n)个点，要开这么大，
对于边数组（存边信息的）(2(k+1)n)((k+1)层无向图)(+2kn)(沟通两层的，来来回回，比如有(3--4)的边，就要在(3.i)和(4.i+1)之间与(4.i)和(3.i+1)之间连边)(+k)（沟通终点的边）(=(4k+2)n+k),可以当结论记住。
(ps)：对于分层图最短路，这并不是唯一的做法，可以进行(dp)，不过博主太菜，没有看懂，有兴趣可以看(OI;Wiki)。
(T2).
题目链接：
P4822 [BJWC2012]冻结
传说中爆搜能过，不过正解是分层图最短路。
我们类比(T1),发现每层图的连接边权值赋为原权值的一半即可。
(Code):
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=2555;
const int inf=2147483647;
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > >q;
int dis[MAXN],vis[MAXN]={0};
int n,m,k,s,t;
int l,r,g;
struct node
{
int to,nxt,w;
}e[201005];
int head[MAXN],cnt=0;
void add(int u,int v,int c)
{
e[++cnt].to=v;
e[cnt].nxt=head[u];
e[cnt].w=c;
head[u]=cnt;
}
void dij()
{
while(!q.empty())
{
int g=q.top().second;
q.pop();
if(vis[g]) continue;
vis[g]=1;
for(int i=head[g];i;i=e[i].nxt)
{
int j=e[i].to;
if(dis[j]>dis[g]+e[i].w)
{
dis[j]=dis[g]+e[i].w;
q.push(make_pair(dis[j],j));
}
}
}
return;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&l,&r,&g);
add(l,r,g),add(r,l,g);
for(int j=1;j<=k;j++)
{
add(n*(j-1)+l,n*j+r,g/2);
add(n*(j-1)+r,n*j+l,g/2);
add(n*j+l,n*j+r,g);
add(n*j+r,n*j+l,g);
}
}
for(int i=1;i<=k;i++) add(n*i,n*(i+1),0);
q.push(make_pair(0,1));
for(int i=1;i<=n*(k+1);i++) dis[i]=inf;
dis[1]=0;
dij();
printf("%d
",dis[(k+1)*n]);
return 0;
}
(T3).
题目链接：P2939 [USACO09FEB]Revamping Trails G
双倍经验？！
和(T1)是一样的，只不过数组忘了(+k)炸了(n)次。
(Code):
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=220005;
const int inf=2147483647;
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > >q;
int dis[MAXN];
int vis[MAXN]={0};
int n,m,k,s,t;
int l,r,g;
struct node
{
int to,nxt,w;
}e[4100055];
int head[MAXN],cnt=0;
void add(int u,int v,int c)
{
e[++cnt].to=v;
e[cnt].nxt=head[u];
e[cnt].w=c;
head[u]=cnt;
}
void dij()
{
while(!q.empty())
{
int g=q.top().second;
q.pop();
if(vis[g]) continue;
vis[g]=1;
for(int i=head[g];i;i=e[i].nxt)
{
int j=e[i].to;
if(dis[j]>dis[g]+e[i].w)
{
dis[j]=dis[g]+e[i].w;
q.push(make_pair(dis[j],j));
}
}
}
return;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&l,&r,&g);
add(l,r,g),add(r,l,g);
for(int j=1;j<=k;j++)
{
add(n*(j-1)+l,n*j+r,0);
add(n*(j-1)+r,n*j+l,0);
add(n*j+l,n*j+r,g);
add(n*j+r,n*j+l,g);
}
}
for(int i=1;i<=k;i++) add(n*i,n*(i+1),0);
q.push(make_pair(0,1));
for(int i=1;i<=n*(k+1);i++) dis[i]=inf;
dis[1]=0;
dij();
printf("%d
",dis[(k+1)*n]);
return 0;
}