缘起
最近在看卡耐基梅隆大学的【深入理解计算机系统实验】之datalab时，遇到一个题目：
1 /* 2 * divpwr2 - Compute x/(2^n), for 0 <= n <= 30 3 * Round toward zero 4 * Examples: divpwr2(15,1) = 7, divpwr2(-33,4) = -2 5 * Legal ops: ! ~ & ^ | + << >> 6 * Max ops: 15 7 * Rating: 2 8 */ 9 int divpwr2(int x, int n) { 10 11 }
即只能用题目提供的操作实现 x/(2^n) 的计算。对于正数，没什么可说的，直接x>>n即可。
但是负数也是这样吗，仔细一看，才发现 x/(2^n) 和 x>>n不是一回事。
比如 -33/(2^4) = -2, 但是另一方面，-33的编码为0xFFFFFFDF，右移4位变成0xFFFFFFFD，即-3，显然不一致。
思考中的犯傻
对于上述问题，在做最后的解释前，先插入一段我的思考过程，主要是记录其中的犯傻之处。
由于计算机中整数的表示法为 2的补码（two's complemet representation），如下公式：
其中s为符号位，x为其他位，N为位数。
对于正数，s为0，只剩后面的求和项，除以(2^n)的话，从公式上看确实是直接右移n位即可。
接着这个思路，我就想，那么负数除以(2^n)等于：
其中第二项跟正数一样，右移n位即可，第一项是什么呢？c语言中的int类型位数太长，这里简单以8位代替。
-2^（8-1） = -128(十进制) = 1000 0000（二进制）
-2^（8-1-1）= -64(十进制) = 1100 0000（二进制）
-2^（8-1-2）= -32(十进制) = 1110 0000（二进制）
也就是说，前面说的第一项其实也是原式的第一项右移n位。所以，总体来说负数除法也是右移。
但是，这个结论显然与-33/(2^4)那个例子矛盾，可是错误在哪儿呢？
其实，错误就在于把x掰开成两个，然后整除2^n，在把结果加起来，这个过程与x直接整除2^n是不等价的。
比如：6/2=3,但是 3/2+3/2=1+1=2。虽然错误很明显，但是一开始思考的时候却犯傻了。
原因应该是什么
负数除法与移位不同的原因用下面一张图就能说明白：
如图所示，中间是一条数轴，数轴上面是x与x/(2^4)的对应关系，下面是x与x>>4的对应关系，
设 x/(2^4)=f(x)>>4，那么从上图可以看出，当x/(2^4)得到-1时，f(x)>>4为了得到-1，f(x)要比x向右移动15，或2^4-1。
图中具体是-16->-1或者-31->-16。
因此，x / (2^n) = (x + (2^n-1)) >> n，所以，datalab那个题目的答案可以是：
1 int divpwr2(int x, int n) { 2 //all zeros or all ones 3 int signx=x>>31; 4 //int mask=(1<<n)+(-1); 5 int mask=(1<<n)+(~0); 6 int bias=signx&mask; 7 return (x+bias)>>n; 8 }
参考文章：
（1）负数的除法和右移的区别；