二分图的最优匹配（KM 算法）
KM 算法用来解决最大权匹配问题： 在一个二分图内，左顶点为 X，右顶点为 Y，现对于每组左右连
接 XiYj 有权 wij，求一种匹配使得所有 wij 的和最大。
基本原理
该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题
的。设顶点 Xi 的顶标为 A[ i ]，顶点 Yj 的顶标为 B[ j ]，顶点 Xi 与 Yj 之间的边权为 w[i,j]。在算
法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。
KM 算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足 A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，
那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X 点集中的所有点都有对应的匹配
或者是
Y 点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等
于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以
相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使 A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令 A[ i ]为所有与顶点 Xi 关联的边的最大权，B[j]=0。
如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完
备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个 X 顶点，我们找不到一条从它出发的交错
路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是 X 顶点。现在我们把交错树中 X 顶点的顶标全都
减小某个值 d，Y 顶点的顶标全都增加同一个值 d，那么我们会发现：
1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和 B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属
于（或不属于）相等子图。
3）X 端不在交错树中，Y 端在交错树中的边(i,j)，它的 A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不
属于相等子图。
4）X 端在交错树中，Y 端不在交错树中的边(i,j)，它的 A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，
现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。（针对之后例子中 x1->y4 这条边）
现在的问题就是求 d 值了。为了使 A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，
d 应该等于：
Min{A[i]+B[j]-w[i,j] | Xi 在交错树中，Yi 不在交错树中}。
改进
以上就是 KM 算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为 O(n4)——需要找 O(n)次增广
路，每次增广最多需要修改 O(n)次顶标，每次修改 顶标时由于要枚举边来求 d 值，复杂度为 O(n2)。
实际上 KM 算法的复杂度是可以做到 O(n3)的。我们给每个 Y 顶点一个“松弛量”函数 slack，每次 开
始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则
让 slack[j]变成原值与 A[ i ]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的 Y
顶点的 slack 值中的最小值作为 d 值即可。 但还要注意一点： 修改顶标后， 要把所有的不在交错树中的 Y 顶点的 slack
值都减去 d（因为：d 的定义为 min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y), x∈ S, y T }（关键，关键），此时属于 S 的 X
均已经减去 d 了，所以不属于 T 的 y 也要减去 d，防止下次循环更改出错）。
Kuhn－Munkras 算法流程：
(1)初始化可行顶标的值
(2)用匈牙利算法寻找完备匹配
(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值
(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止
已知 K5,5 的权矩阵为
y1 y2 y3 y4 y5
x1 3 5 5 4 1
x2 2 2 0 2 2
x3 2 4 4 1 0
x4 0 1 1 0 0
x5 1 2 1 3 3
求最佳匹配，其中 K5,5 的顶划分为 X={xi},Y={yi},i=1,2,3,4,5.
解：
(1)取可行顶标 l(v)为 l(yi)=0,i=1,2,3,4,5；
l(x1)=max{3,5,5,4,1}=5,l(x2)=max{2,2,0,2,2}=2,l(x3)=max(2,4,4,1,0}=4,l(x4)=max{0,1,1,0,0}
=1,l(x5)=max{1,2,1,3,3}=3.
(2) Gl 及其上之匹配见图 7.12。
这个图中ο(G-x2)=3,由 Tutte 定理知无完备匹配。需要修改顶标。
(3) u=x4,得 S={x4,x3,x1},T={y3,y2},N(S)=T,于是
al=min(l(x)+l(y)-w(xy)}=1. (x∈S,y∈T)
x1,x2,x3,x4,x5 的顶标分别修改成 4,2,3,0,3；y1,y2,y3,y4,y5 的顶标分别修改成 0,1,1,0,0。
(4) 用修改后的顶标 l 得 Gl 及其上面的一个完备匹配如图 7.13。图中粗实线给出了一个最佳匹配，其
最大权是 2+4+1+4+3=14。
我们看出：al>0；修改后的顶标仍是可行顶标；Gl 中仍含 Gl 中的匹配 M；Gl 中至少会出现不属于 M 的
一条边，所以会造成 M 的逐渐增广。
得到可行顶标后求最大匹配：
书上这部分没讲，实际上是这样的，对于上面这个例子来说，通过 Kuhn-Munkres 得到了顶标 l(x)=
{4,2,3,0,3},l(y)={0,1,1,0,0},那么，对于所有的 l(xi)+l(yj) = w(i,j)，在二分图 G 设置存在边
w(i,j)。再用匈牙利算法求出最大匹配，再把匹配中的每一边的权值加起来就是最后的结果了。
| 1 2 3 |
| 3 2 4 |
| 2 3 5 |
若要对这个完全二分图求最佳匹配
初始化：
Lx(1)= max{ y| w(1,y), 1<= y<= 3 }= max{ 1, 2, 3 }= 3, Ly(1)= 0
Lx(2)= max{ 3, 2, 4 }= 4, Ly(2)= 0
Lx(3)= max{ 2, 3, 5 }= 5, Ly(3)= 0;
我们建立等价子图( 满足 Lx(x)+ Ly(y)== W(x,y) ) 如下：
对于该图， 运用匈牙利算法对 X 部顶点 1 求增广路径， 得到一个匹配， 如图( 红色代表匹配边 )：
对 X 部顶点 2 求增广路径失败，寻找增广路径的过程为 X 2-> Y 3-> X 1。我们把寻找增广
路径失败的 DFS 的交错树中，在 X 部顶点集称之为 S， 在 Y 部的顶点集称之为 T。则 S= { 1, 2 }，T= { 3 }。现
在我们就通过修改顶标值来扩大等价子图，如何修改。
1) 我们寻找一个 d 值，使得 d= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y), x∈ S, y∉ T }，因些，这时 d= min{
Lx(1)+Ly(1)-W(1,1), Lx(1)+Ly(2)-W(1,2), Lx(2)+Ly(1)-W(2,1), Lx(2)+Ly(2)-W(2,2) }=
min{ 3+0- 1, 3+0-2, 4+0-3, 4+0-2 }= min{ 2, 1, 1, 2 }= 1。
寻找最小的 d 是为了保证修改后仍满足性质对于边 <x,y> 有 Lx(x)+ Ly(y)>= W(x,y)。
2) 然后对于顶点 x
1. 如果 x∈ S 则 Lx(x)= Lx(x)- d。
2. 如果 x∈ T 则 Ly(x)= Ly(x)+ d。
3. 其它情况保持不变。
如此修改后，我们发现对于边<x,y>，顶标 Lx(x)+ Ly(y) 的值为
1. Lx(x)- d+ Ly(y)+ d， x∈ S, y∈ T。
2. Lx(x)+ Ly(y)， x∉ S, y∉ T。
3. Lx(x)- d+ Ly(y)， x∈ S, y∉ T。
4. Lx(x)+ Ly(y)+ d， x∉ S, y∈ T。
易知，修改后对于任何边仍满足 Lx(x)+ Ly(y)>= W(x,y)，并且第三种情况顶标值减少了 d，如此定会使等价子图扩大。
就上例而言: 修改后 Lx(1)= 2, Lx(2)= 3, Lx(3)= 5, Ly(1)= 0, Ly(1)= 0, Ly(2)= 0, Ly(3)= 1。
这时 Lx(2)+Ly(1)=3+0=3= W(2,1)，在等价子图中增加了一条边，等价子图变为：
如此按以上方法，得到等价子图的完美匹配。
另外计算 d 值的时候可以进行一些优化。
定义 slack(y)= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y)，x∈ S, y∉ T }
这样能在寻找增广路径的时候就顺便将 slack 求出。