本学期的高等代数每周一题活动计划从第1教学周开始，到第16教学周结束，每周的周末公布一道思考题（共16道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“高等代数在线课程19级课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上、用手机APP扫描或用手机拍照（注意清晰度，且图片像素不宜过高），并将解答图片上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。
[问题2020S01] 设数域 $mathbb{K}$ 上的二元多项式 $f(x,y)$ 关于 $x$ 的次数小于等于 $n$, 关于 $y$ 的次数小于等于 $m$. 设 $mathbb{K}$ 中存在两组互不相同的数 $a_0,a_1,cdots,a_n$ 和 $b_0,b_1,cdots,b_m$, 使得 $$f(a_i,b_j)=0,\,\,\,\,0leq ileq n,\,\,0leq jleq m.$$ 证明: $f(x,y)$ 是零多项式.
[问题2020S02] 请用特征值法重新证明高代白皮书的例 5.72, 例 3.78 和例 3.80:
(1) 设 $f(x),g(x)$ 是数域 $mathbb{K}$ 上的互素多项式, $A$ 是 $mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵, 满足 $f(A)=0$, 证明: $g(A)$ 是非异阵.
(2) 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称阵, $S$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 证明: $I_npm S$ 和 $I_npmmathrm{i}A$ 都是非异阵.
[问题2020S03] 设 $n$ 阶复方阵 $A=egin{pmatrix} a & b & cdots & b \ c & a & & \ vdots & & ddots & \ c & & & a end{pmatrix}$, 试求 $A$ 可对角化的充要条件.
[问题2020S04] 设 $A$ 为数域 $mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵, $f(x),g(x)$ 为 $mathbb{K}$ 上互素的多项式, 且它们在 $mathbb{C}$ 中均无重根. 证明: 若 $r(f(A))+r(g(A))=n$, 则 $A$ 复可对角化.
[问题2020S05] 设 $n$ 阶实方阵 $A,B$ 满足: $A,B$ 的特征值都大于零, 且 $A^4+2A^3B=2AB^3+B^4$, 证明: $A=B$.
[问题2020S06] 设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, $f(x)inmathbb{C}[x]$, 证明: $A$ 可对角化的充要条件是 $egin{pmatrix} A & f(A) \ f(A) & A \ end{pmatrix}$ 可对角化.
[问题2020S07] 设 $n$ 阶实方阵 $A$ 的 $n-1$ 阶行列式因子是一个 $n-2$ 次多项式, 试求 $A$ 的不变因子组及其有理标准型.
[问题2020S08] 设 $Ain M_n(mathbb{K})$ 的不变因子组是 $1,cdots,1,d_1(lambda),cdots,d_k(lambda)$, 其中 $d_i(lambda)$ 是非常数首一多项式, $d_i(lambda)mid d_{i+1}(lambda)\,(1leq ileq k-1)$, 证明: $$r(A)=n-sumlimits_{i=1}^kdelta_{d_i(0),0},$$ 其中记号 $delta_{a,b}$ 表示: 若 $a=b$, 取值为 1; 若 $a eq b$, 取值为 0.
[问题2020S09] 设 $varphi$ 是数域 $mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, $varphi$ 的初等因子组为 $P_1(lambda)^{r_1},P_2(lambda)^{r_2},cdots,P_k(lambda)^{r_k}$, 其中 $P_i(lambda)$ 是 $mathbb{K}$ 上的首一不可约多项式. 证明: 存在 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_kin V$, 使得 $V=C(varphi,alpha_1)oplus C(varphi,alpha_2)opluscdotsoplus C(varphi,alpha_k)$, 其中 $C(varphi,alpha_i)=L(alpha_i,varphi(alpha_i),varphi^2(alpha_i),cdots)$ 是 $varphi$ 关于循环向量 $alpha_i$ 的循环子空间.
[问题2020S10] 设 $A$ 为 $3$ 阶实方阵, 试求 $C(A)={Bin M_3(mathbb{R})mid AB=BA}$.
[问题2020S11] 设 $V$ 为 $n$ 阶复方阵全体构成的线性空间, $V$ 上的线性变换 $varphi$ 定义为 $varphi(X)=AX-XA'$, 其中 $Ain V$. 证明: $varphi$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化.
[问题2020S12] 设 $A,B$ 为 $n$ 阶复方阵, 证明: $(AB)^n$ 与 $(BA)^n$ 相似.
[问题2020S13] 求 $n\,(ngeq 2)$ 阶实对称阵 $A$ 的正负惯性指数: $$A=egin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2+1 & cdots & a_1a_n+1 \ a_2a_1+1 & a_2^2 & cdots & a_2a_n+1 \ vdots & vdots & & vdots \ a_na_1+1 & a_na_2+1 & cdots & a_n^2 \ end{pmatrix}.$$
[问题2020S14] 求下列 $n$ 元实二次型的规范标准型: $$f(x_1,x_2,cdots,x_n)=sum_{i,j=1}^nmax{i,j}x_ix_j.$$
[问题2020S15] 设 $M$ 为 $n$ 阶实方阵, 若对任意的 $n$ 维实列向量 $alpha$, 有 $alpha'Malphageq 0$, 则称 $M$ 为亚半正定阵.
(1) 证明: $n$ 阶实方阵 $M$ 是亚半正定阵 $Leftrightarrow$ $M+M'$ 是半正定阵 $Leftrightarrow$ $M=A+S$, 其中 $A$ 是半正定实对称阵, $S$ 是实反对称阵.
(2) 设 $A,B$ 为 $n$ 阶亚半正定阵, $c$ 为非负实数, 证明:
(2.1) $A+B$, $cA$, $A'$ 和 $A^*$ 都是亚半正定阵;
(2.2) 若 $C$ 为 $n$ 阶实方阵, 则 $C'AC$ 也是亚半正定阵;
(2.3) 若 $C$ 为 $n$ 阶亚正定阵, 则 $A+C$ 也是亚正定阵;
(2.4) $A$ 的特征值的实部都大于等于零, 特别地, $|A|geq 0$;
(2.5) 举例说明: 非异的亚半正定阵不一定是亚正定阵.
[问题2020S16] 设 $a$ 为正实数, 证明下列 $n$ 阶实对称阵为正定阵: $$A=egin{pmatrix} a & dfrac{a^2}{2} & dfrac{a^3}{3} & cdots & dfrac{a^n}{n} \ dfrac{a^2}{2} & dfrac{a^3}{3} & dfrac{a^4}{4} & cdots & dfrac{a^{n+1}}{n+1} \ dfrac{a^3}{3} & dfrac{a^4}{4} & dfrac{a^5}{5} & cdots & dfrac{a^{n+2}}{n+2} \ vdots & vdots & vdots & & vdots \ dfrac{a^n}{n} & dfrac{a^{n+1}}{n+1} & dfrac{a^{n+2}}{n+2} & cdots & dfrac{a^{2n-1}}{2n-1} \ end{pmatrix}.$$
[问题2020S17] 设 $V$ 为区间 $[-1,1]$ 上由次数不超过 $5$ 的实系数多项式构成的实线性空间, $V$ 上的内积定义为 $$(f,g)=int^{+1}_{-1}f(x)g(x)mathrm{d}x,$$ 试求$$min_{f(x)in V}int^{+1}_{-1}(sinpi x-f(x))^2mathrm{d}x.$$
[问题2020S18] 设 $Q$ 为 $n$ 阶正交阵, $1$ 不是 $Q$ 的特征值. 设 $P=I_n-2uu'$, 其中 $u$ 是单位实列向量. 证明: $1$ 是 $PQ$ 的特征值.