学习笔记——扫描线

扫描线的主要步骤就是先对于一个维度进行排序扫描，并用一些数据结构维护当前扫描线所产生的贡献。（一般是用离散化+线段树）

今天就用平面上的矩阵的周长并和面积并来讲一讲扫描线。

POJ1151——Atlantis（矩阵面积并）

我们考虑对于$y$轴从下至上扫描，每次看剩下的底边再乘上此次更新的高度，这样就可以

我们先按照$y$轴进行排序，然后对于$x$轴进行离散化，用线段树$cnt$保存这段区间内被完全覆盖了几次，$sum$保存这个区间内剩下底边的长度。

在扫描时，我们分类当前边是上位边还是下位边，若是上位边就对剩下区间进行覆盖，下位边则进行删除（即反着更新），然后从第二条扫描线开始统计答案即可

注：在代码实现方面，其实区间修改并没必要写$pushdown$函数，因为查询永远查的是$sum[1]$，而修改操作也一定是成对出现，并不需要把上面的信息处理到下面。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double inf=2e9;
const int N=102000;

int n;
struct Point{
    double x1,y1,x2,y2;
}a[N];

struct Line{
    double y;
    int flag,id;//flag=1:下位边  flag=-1:上位边 
    bool operator < (const Line &rhs) const{
        return y<rhs.y;
    }
    Line(){}
    Line(double y,int flag,int id):y(y),flag(flag),id(id){}
}li[N*2];

double t[N*2],sum[N*8];
int cnt[N*8];//有2*n个点 
int v[N*2];
//没有访问区间，不需要pushdown 
void push_up(int x,int l,int r)
{
    if(cnt[x]) sum[x]=t[r+1]-t[l];
    else if (l==r) sum[x]=0;
    else sum[x]=sum[x+x]+sum[x+x+1];
}

void update(int x,int l,int r,int L,int R,int upd)
{
    if(L>R) return;
    if(L<=l&&r<=R) 
    {
        cnt[x]+=upd;
        push_up(x,l,r);//之前sum直接更新，没有考虑0或1两种情况 
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(mid>=L) update(x+x,l,mid,L,R,upd);
    if(mid<R) update(x+x+1,mid+1,r,L,R,upd);
    push_up(x,l,r);
}

void build(int x,int l,int r)
{
    if(l==r) 
    {
        sum[x]=0; cnt[x]=0;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(x+x,l,mid);
    build(x+x+1,mid+1,r);
}

void printans(double ans,int tot)
{
    printf("Test case #%d
Total explored area: %.2f

",tot,ans);
}

int tot=0;
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n)
    {
        double ans=0; tot++;
        for(int i=1;i<=n;i++) 
        {
            scanf("%lf%lf%lf%lf",&a[i].x1,&a[i].y1,&a[i].x2,&a[i].y2);
            t[i*2-1]=a[i].x1; t[i*2]=a[i].x2;
            li[i*2-1]=Line(a[i].y1,1,i);
            li[i*2]=Line(a[i].y2,-1,i);
        }
        sort(t+1,t+2*n+1);
        sort(li+1,li+2*n+1);
        int m=unique(t+1,t+n+n+1)-t-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            a[i].x1=lower_bound(t+1,t+m+1,a[i].x1)-t;
            a[i].x2=lower_bound(t+1,t+m+1,a[i].x2)-t;
        }
        build(1,1,m-1);
        for(int i=1;i<=2*n;i++)
        {
            if(i>1&&li[i].y>li[i-1].y)
            {
                double delta=li[i].y-li[i-1].y;
                ans+=delta*sum[1];
            }
            update(1,1,m-1,a[li[i].id].x1,a[li[i].id].x2-1,li[i].flag);
            //segtree里的i代表i~i+1区间 
        }
        printans(ans,tot);
    }
    return 0;
}

洛谷P1856——[USACO5.5]矩形周长Picture（矩形周长并）

想法类似，但做法不同。

我们还是考虑搜到每一条扫描线时的对答案的贡献，上、下位边都会有影响。

所以我们对每一条扫描线，在插入该线的前后都进行一次查询，两次剩余区间的长度之差就是该扫描线所产生的贡献。

因为有横线有竖线，所以我们对于$x,y$进行两轮扫描就可以啦~~（这道题不用离散化呦~）

注意点：可能会有两条扫描线重合，这在矩阵面积时不会产生影响，但在周长方面会产生影响。（因为可能一个矩形的上位边和一个矩形的下位边重合，我们如果顺序不当先扫到上位边，就会把原先覆盖的区间删掉，导致前后状态不同，答案更新；扫相同高度的另一个矩形的下位边时又因为区间被删掉了，再覆盖又更新了一次答案。本来上下位边重合不产生贡献，但我们这里产生了两次贡献，所以要改进一下）

我们在对扫描线进行排序时同时记录它是上位边还是下位边，作为第二关键字，使下位边排在前面就可以了

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=102000;

int n;
struct segtree{
    int cnt,sum;
}tree[N*8];
struct node{
    int x1,y1,x2,y2;
}a[N];
struct Line{
    int val,flag;
    int lz,rz;
    Line(){
    }
    Line(int val,int flag,int lz,int rz):val(val),flag(flag),lz(lz),rz(rz){
    }
    bool operator < (const Line &rhs) const{
        if(val!=rhs.val) return val<rhs.val;
        return flag>rhs.flag;
    }
}X[2*N],Y[2*N];

void build(int x,int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        tree[x].cnt=tree[x].sum=0;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(x+x,l,mid);
    build(x+x+1,mid+1,r);
}

void pushup(int x,int l,int r)
{
    if(tree[x].cnt) tree[x].sum=r-l+1;//之前没+1 
    else tree[x].sum=tree[x+x].sum+tree[x+x+1].sum;
}

void update(int x,int l,int r,int L,int R,int upd)
{
    if(L>R) return;
    if(L<=l&&r<=R)
    {
        tree[x].cnt+=upd;
        pushup(x,l,r);
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(mid>=L) update(x+x,l,mid,L,R,upd);
    if(mid<R) update(x+x+1,mid+1,r,L,R,upd);
    pushup(x,l,r);
}

int _abs(int x)
{
    if(x<0) x=-x; return x;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        scanf("%d%d%d%d",&a[i].x1,&a[i].y1,&a[i].x2,&a[i].y2);
        a[i].x1+=N; a[i].x2+=N; a[i].y1+=N; a[i].y2+=N;
        X[i*2-1]=Line(a[i].x1,1,a[i].y1,a[i].y2);
        X[i*2]=Line(a[i].x2,-1,a[i].y1,a[i].y2);//heng
        Y[i*2-1]=Line(a[i].y1,1,a[i].x1,a[i].x2);
        Y[i*2]=Line(a[i].y2,-1,a[i].x1,a[i].x2);//shu
    }
    int ans=0;
    int m=N+N;
    build(1,1,m);
    sort(X+1,X+n+n+1);
    for(int i=1;i<=n+n;i++)
    {
        int last=tree[1].sum;
        update(1,1,m,X[i].lz,X[i].rz-1,X[i].flag);//区间！要rz-1 
        int now=tree[1].sum;
        ans+=_abs(now-last);
    }
    build(1,1,m);
    sort(Y+1,Y+n+n+1);
    for(int i=1;i<=n+n;i++)
    {
        int last=tree[1].sum;
        update(1,1,m,Y[i].lz,Y[i].rz-1,Y[i].flag);//区间！要rz-1 
        int now=tree[1].sum;
        ans+=_abs(now-last);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}