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  • [离散时间信号处理学习笔记] 10. z变换与LTI系统

    我们前面讨论了z变换,其实也是为了利用z变换分析LTI系统。

    利用z变换得到LTI系统的单位脉冲响应

    对于用差分方程描述的LTI系统而言,z变换将十分有用。有如下形式的差分方程:

    $displaystyle{ y[n] = –sum_{k=1}^{N}left(frac{a_k}{a_0} ight)y[n-k]+sum_{k=0}^{M}left(frac{b_k}{a_0} ight)x[n-k] }$

    我们可以通过z变换得到上述式子的单位脉冲响应。

    等式两边进行z变换

    $egin{align*}
    Y(z)
    &=zleft{-sum_{k=1}^{N} left( frac{a_k}{a_0} ight)y[n-k]+sum_{k=0}^{M}left(frac{b_k}{a_0} ight)x[n-k] ight}\
    &=zleft{-sum_{k=1}^{N} left( frac{a_k}{a_0} ight)y[n-k] ight}+zleft{sum_{k=0}^{M}left(frac{b_k}{a_0} ight)x[n-k] ight}quad z linearity property\
    &=-sum_{k=1}^{N} left( frac{a_k}{a_0} ight)z^{-k}Y(z) + sum_{k=0}^{M}left(frac{b_k}{a_0} ight)z^{-k}X(z) quad z time shift property\
    end{align*}$

    整理后可以得到

    $Y(z)=left(frac{displaystyle{ sum_{k=0}^{M}b_kz^{-k} }}{displaystyle{sum_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}} ight )X(z)$

    另外,我们知道LTI系统是通过卷积来定义的

    $displaystyle{ y[n] = h[n]*x[n] }$

    等式两边进行z变换,可以得到

    $Y(z) = H(z)X(z)$

    因此有

    $H(z) = frac{displaystyle{ sum_{k=0}^{M}b_kz^{-k} }}{displaystyle{sum_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}}$

    我们对$H(z)$进行z逆变换即可得到单位脉冲响应$h[n]$。$H(z)$被称为系统函数

    因果LTI系统的一些z变换特性

    此外,我们这里讨论的差分方程是因果的,即有

    • 系统满足初始松弛条件,也就是说如果输入为$x[n]=0,n< 0$,有
      $y[-N] = y[-N+1]=cdotcdotcdot=y[-1]=0$
    • 因果LTI系统的单位脉冲响应满足$h[n]=0,n<0$,那么系统函数$H(z)$的收敛域呈现$|z|>R$。
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