【题集】k倍区间（抽屉原理）

例1：http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T444

蓝桥杯

问题描述

　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。
　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入格式

　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出格式

　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。

分析：

1、因为(sum[r] - sum[l-1]) % k == 0,可推出sum[r] % k == sum[l - 1] % k.

2、因此，将前缀和分别对K取模。

3、分别统计出取模后的各数字的个数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 100000 + 10;
int sum[MAXN];
int cnt[MAXN];
int main(){
    int N, K;
    scanf("%d%d", &N, &K);
    for(int i = 0; i < N; ++i){
        scanf("%d", &sum[i]);
    }
    sum[0] %= K;
    for(int i = 1; i < N; ++i){
        sum[i] = ((sum[i] % K) + sum[i - 1]) % K;
    }
    LL ans = 0;
    for(int i = 0; i < N; ++i){
        ans += cnt[sum[i]]++;
    }
    printf("%lld
", ans + cnt[0]);
    return 0;
}

例2：https://cn.vjudge.net/problem/POJ-3370

题意：每个邻居可以给ai个糖，共n个邻居，问向哪几个邻居要糖可以正好被c个孩子平分。

分析：此题和例1解法相似。

若sum[i] % c == 0，则[1, i]可以被c整除；

若sum[l - 1] % c == sum[r] % c，则[l, r]可以被c整除；

由于输出任意一种答案即可，那会不会存在一种可能，就是答案都不是连续的区间，而是不连续的区间呢？

由于本题中c<=n，因此一定存在连续区间的解。

原因在于，

若sum[i]能被c整除，一定存在连续区间的解[1, i]；

若sum[i]不能被c整除，则sum[i]%c可能的结果在[1, c-1]里，共c-1种可能，而c-1<n，根据抽屉原理，因此一定存在一对i, j，使得sum[i] % c == sum[j] % c,即存在连续区间解[i + 1, j].

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 100000 + 10;
int sum[MAXN];
int id[MAXN];
int main(){
    int c, n;
    while(scanf("%d%d", &c, &n) == 2){
        if(!c && !n) return 0;
        memset(sum, 0, sizeof sum);
        memset(id, 0, sizeof id);
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            scanf("%d", &sum[i]);
        }
        sum[1] %= c;
        for(int i = 2; i <= n; ++i){
            sum[i] = ((sum[i] % c) + sum[i - 1]) % c;
        }
        int st, et;
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            if(sum[i] == 0){
                st = 1;
                et = i;
                break;
            }
            if(id[sum[i]]){
                st = id[sum[i]] + 1;
                et = i;
                break;
            }
            id[sum[i]] = i;
        }
        for(int i = st; i <= et; ++i){
            printf("%d", i);
            if(i == et) printf("
");
            else printf(" ");
        }
    }
    return 0;
}

例3：https://cn.vjudge.net/problem/POJ-2356

分析：与例2相似，因为N-1 < N，所以一定存在连续区间的解。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 15000 + 10;
int a[MAXN];
int sum[MAXN];
int id[MAXN];
int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    sum[1] = a[1] % n;
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        sum[i] = ((a[i] % n) + sum[i - 1]) % n;
    }
    int st, et;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        if(sum[i] == 0){
            st = 1;
            et = i;
            break;
        }
        if(id[sum[i]]){
            st = id[sum[i]] + 1;
            et = i;
            break;
        }
        id[sum[i]] = i;
    }
    printf("%d
", et - st + 1);
    for(int i = st; i <= et; ++i){
        printf("%d
", a[i]);
    }
    return 0;
}