大意: 给定集合a, 求a的按位与和等于0的非空子集数.
为了方便表述, 把每个数看成一个二进制位表示的集合, 例如十进制的$10$就看做集合${1,3}$.
假设给定数的范围在$[0,2^{m})$内, 记$U={0,1,2,cdots,m-1}$.
首先根据容斥可以得到
$$ans=sumlimits_{Ssubseteq 2^{U}}(-1)^{|S|}(2^{f_S}-1) ag{1}$$
其中$f_S=sumlimits_{Tin a}[Tsupseteq S] ag{2}$
用${cnt}_S$来表示给定每个$S$的出现次数, 就有
$$f_S=sumlimits_{Tsupseteq S} {cnt}_T ag{3}$$
快速计算$(3)$式其实就是集合交的莫比乌斯变换.
显然可以$O(3^{m})$枚举子集计算, 但是还有$O(m2^{m})$的算法.
记$f_{i,S}$为只考虑前$i$种元素时的$f_{S}$的值
那么就有$$f_{i,S} = egin{cases} f_{i-1,S} & ext{$iin S$} \ f_{i-1,S}+f_{i-1,S+{i}} & ext{$i otin S$} ag{4}end{cases}$$
初值$f_{-1,S}={cnt}_{S}$, 最终$f_{S}=f_{m-1,S}$, 那么这道题就解决了.
然后再简单推广一下, 考虑与和等于任意值情形, 用容斥可以得到与和为$S$时的答案为
$$h(S)=sumlimits_{Tsupseteq S}(-1)^{|T|-|S|}(2^{f_{T}}-1) ag{5}$$
若改为或和的情形, 类比与和的求法有
$$f_S=sumlimits_{Tsubseteq S}{cnt}_T ag{6}$$
然后容斥可以得到
$$h(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|S|-|T|}(2^{f_{T}}-1) ag{7}$$
其中$(6)$式则是集合并的莫比乌斯变换, 用同样的方法有
$$f_{i,S} = egin{cases} f_{i-1,S} & ext{$i otin S$} \ f_{i-1,S}+f_{i-1,S-{i}} & ext{$iin S$} ag{8}end{cases}$$