数据结构：冒泡排序及其改进、插入排序和希尔排序

前提

void X_Sort ( ElementType A[], int N )

• 大多数情况下，为简单起见，讨论从小大的整数排序
• N是正整数
• 只讨论基于比较的排序（> = < 有定义）
• 只讨论内部排序（若内存小于数据大小，则需要外部排序）
• 稳定性：任意两个相等的数据，排序前后的相对位置不发生改变
• 没有一种排序是任何情况下都表现最好的

简单排序

冒泡排序

基础冒泡

• 从第1个泡泡开始，大的下沉，沉到不能沉为止，此时第n个泡泡最大。
• 从第i个泡泡开始，大的下沉，沉到不能沉为止，比较到n-i个泡泡即可。

void Bubble_Sort( ElementType A[], int N )
{ for ( P=N-1; P>=0; P-- ){
for( i=0; i<P; i++ ) { /* 一趟冒泡*/
if ( A[i] > A[i+1] ) {
Swap(A[i], A[i+1]);
}
}
}
}

加强版冒泡

• 用一个flag来标记，若一趟下来，不发生交换，则说明排序完成。

void Bubble_Sort( ElementType A[], int N )
{ for ( P=N-1; P>=0; P-- ){
flag = 0;
for( i=0; i<P; i++ ) { /* 一趟冒泡*/
if ( A[i] > A[i+1] ) {
Swap(A[i], A[i+1]);
flag = 1; /* 标识发生了交换*/
}
}
if ( flag==0 ) break; /* 全程无交换*/
}
}

优缺点分析

• 最好情况：顺序T = O( N )
• 最坏情况：逆序T = O( N^2 )

优点

• 易于实现
• 对数组 链表都没问题
• 稳定的

缺点

• 复杂度过高

插入排序

• 摸出第1张牌，从第n张开始比较，若大小关系错误，则第n张后移一位，再与n-1相比较，直到大小关系正确，插入该位置。
• 摸出第i张牌，从第n张开始比较，若大小关系错误，则第n张后移一位，再与n-1相比较，直到大小关系正确，插入该位置。
  

void Insertion_Sort( ElementType A[], int N )
{ for ( P=1; P<N; P++ ) {
Tmp = A[P]; /* 摸下一张牌*/
for ( i=P; i>0 && A[i-1]>Tmp; i-- )
A[i] = A[i-1]; /* 移出空位*/
A[i] = Tmp; /* 新牌落位*/
}
}

优缺点分析

最好情况：顺序T = O( N )
最坏情况：逆序T = O( N2 )

优点

• 易于实现
• 比冒泡好，每一步都少一些步骤
• 稳定的

缺点

• 复杂度高

插入排序的改进：希尔排序

• 定义增量序列 Dm>Dm-1>……>D1=1
• 对每个Dk进行“Dk-间隔”排序（K=m,m-1,……1）
• 注意：Dk间隔有序的序列，在执行“Dk-1间隔”排序后，仍然是Dk间隔有序的。

一个例子

一个坏例子

• 原始希尔排序DM = 向下取整（ N / 2 ） , Dk = 向下取整（ Dk+1 / 2 ）。
• 最坏情况： T = θ( N2 )

void Shell_sort( ElementType A[], int N )
{ for ( D=N/2; D>0; D/=2 ) { /* 希尔增量序列*/
for ( P=D; P<N; P++ ) { /* 插入排序*/
Tmp = A[P];
for ( i=P; i>=D && A[i-D]>Tmp; i-=D )
A[i] = A[i-D];
A[i] = Tmp;
}
}
}

更多增量序列

基于比较的排序

时间复杂度下界

• 对于下标i<j，如果A[i]>A[j]，则称(i,j)是
  一对逆序对(inversion)
• 问题：序列{34, 8, 64, 51, 32, 21}中有多少逆序对？
• (34, 8) (34, 32) (34, 21) (64, 51) (64, 32) (64, 21) (51, 32) (51, 21) (32, 21)
• 交换2个相邻元素正好消去1个逆序对！
• 插入排序：T(N, I) = O( N+I )
• 如果序列基本有序，则插入排序简单且高效

相关定理

• 定理：任意N个不同元素组成的序列平均具有
  N ( N - 1 ) / 4 个逆序对。
• 定理：任何仅以交换相邻两元素来排序的算
  法，其平均时间复杂度为Ω ( N2 ) 。
• 这意味着：要提高算法效率，我们必须每次消去不止1个逆序对！
• 每次交换相隔较远的2个元素！