【BZOJ 1485】有趣的数列

Description

我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

(2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

(3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

【题解思路】

类比合法括号序列，可知要求卡特兰数。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define ll long long
 4 #define ull unsigned long long
 5 #define rep(k,i,j) for(int k = i;k <= j; ++k)
 6 #define FOR(k,i,j) for(int k = i;k >= j; --k)
 7 inline int read(){
 8     int x = 0,f = 1; char ch=getchar();
 9     while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
10     while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0'; ch=getchar();}
11     return x*f; 
12 } 
13 const int mxn = 2e6+5;
14 int n,p; 
15 inline void file(){
16     freopen("dotp.in","r",stdin);
17     freopen("dotp.out","w",stdout);    
18 }
19 /*
20 thought1 
21 1.线性筛筛出所有1~n之间的质数并用桶计数 
22 2.对n+2~2*n进行质因数分解对应数量减少 
23 复杂度太高，比递推复杂度都要高 
24 thought2 
25 1.处理出从1~2*n的所有质数，对质因子从小到大标号 
26 2.处理出从1到当前数为止的质数的个数，
27     tot[x]表示从1~x内质数的标号到了tot[x]个，从1~x有tot[x]个质数
28 3.利用同样的质数，下标不变，进行桶的计数。 
29 */ 
30 int cnt[mxn],tot[mxn];
31 inline void in(){
32     n = read(),p = read();
33     memset(cnt,0,sizeof(cnt));
34 }
35 int prime[mxn];
36 bool v[mxn];
37 int m = 0;
38 inline void getpri(){
39     memset(v,0,sizeof(v));
40 //    int m(0); 
41     rep(i,2,2*n){
42         if(v[i]==0){//i是质数 
43             prime[++m] = i;//第m个质数是i
44             tot[i] = m;//计算到i已经有m个质数用于标号 
45         } 
46         for(int j = 1;j<=m && prime[j]*i<=2*n; j++){
47             v[prime[j]*i] = 1;
48             tot[prime[j]*i] = j;
49             if(i%prime[j]==0) break;
50         }
51     }
52 }
53 inline void prewor(int x,int num){
54     while(x!=1){
55         cnt[tot[x]] += num;
56         x /= prime[tot[x]];
57     }    
58 }
59 ll ans = 1;
60 inline void wor(){
61     FOR(i,2*n,n+2) prewor(i,1);
62     rep(i,1,n) prewor(i,-1);
63     rep(i,1,m) 
64         while(cnt[i]--) ans = (ans*prime[i])%p; 
65 } 
66 inline void print(){
67     printf("%lld
",ans);
68 }
69 
70 int main(){
71 //    file();        
72     in();
73     getpri();
74     wor(); 
75     print();
76     return 0;
77 }

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