集训DAYn——组合数学（1）

组合

又到了我们信息教练讲数学课了，吼吼吼

然后数学教练水能老师中途探望了一下，然后他看到黑板上的题，微妙的笑了.

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排列：

从n个数中有序的选出m个数的方案数是多少？
第一个数有n种取法，第二个数有n-1种取法......第m个数有n-m+1种取法。

n*(n-1)*...*(n-m+1)=n!/(n-m)!记为A（n,m）.

组合：

从n个数中无序的选出m个数的方案数是多少？

先有序的取m个数，那么无序的m个数会被取到m!次。

A(n,m)/m!=n!/[m!(n-m)!]记为C（n,m）

C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1).

组合数的性质：1.C(m,n)=C(n-m,n)

　　　　　　　2.C(m,n)=C(m,n-1)+C(m-1,n-1)

　　　　　　　3.C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+...+C(n,n)=2^n

　　　　　　　4.C(n,n)+C(n,n+1)+C(n,n+2)+...+C(n,n+r)=C(n+1,n+r+1)

　　　　　　　5.C(0,n)+C(2,n)+C(4,n)+...=C(1,n)+C(3,n)+C(5,n)+...=2^(n-1)

something else:

1.n个人围着一张圆桌坐在一起，共有（n-1）! 种坐法。

2.从n个排成一排的数中取m个数，且数字之间互不相邻，共有C(m,n-m+1)种取法。

二次项定理：

(a+b)^n=∑(0<=k<=n)C(k,n)*(a^k)*(b^(n-k))

友情证明：可爱的数学归纳法

　　　　　　当n=1时，(a+b)^1=C(0,n)*(a^0)*(b^1)+C(1,n)*(a^1)*(b^0)=a+b成立

　　　　　　假设当n=m时命题成立，当n=m+1时：

　　　　　　(a+b)^(m+1)=(a+b)(a+b)^m

　　　　　　=(a+b)∑(0<=k<=n)C(k,m)*(a^k)*(b^(m-k))

　　　　　　=...=∑(0<=k<=m+1)C(k,m+1)*(a^k)*(b^(m+1-k))

那么，二次项定理有什么用呢？

我可以负责任的告诉你，这个数学里是经常考的，2017年的浙江高中数学省赛卷第一题就是这个东西,它可以被用于证明可爱的费马小定理...我知道你心里已经开始喊停了...

但数学和信息是分不开的，数学班的同学告诉我们数学老师在数学班里讲树还有剪枝，数学奥林匹克命题人讲座（简称命题人）的《组合问题》的编写者之一就是毕业于计算机系的...

所以还是对数学好点吧。

讲正事，想知道浙江省省赛卷第一题是怎么出的吗？（不想知道，我还是会讲）

二次项定理的直接运用，我们把他变成OI题，如下：

题目：给定一个多项式（ax+by）^k,求出多项式展开后的x^n*y^m项的系数，对10007取模。

0<=n,m<=k<=1000,n+m=k,0<=a,b<=1000000。

          根据二次项定理，有（ax+by）^k=∑(0<=i<=k)C(i,k)*(a^i)*(b^(k-i))*(x^i)*(y^(k-i))

　　　　　　　　　所以(x^n)*(y^m)的系数即为C(n,k)*(a^n)*(b^m),直接计算就好。

隔板法

隔板法又称插空法，就是在n个元素间插入（m-1）个板，即把n个元素分成m组的方法。

eg:

将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？

 

分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.

 

解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，因为允许有盒子为空，不符合隔板法的原理，那就人为的再加上3个小球，保证每个盒子都至少分到一个小球，那就符合隔板法的要求了（分完后，再在每组中各去掉一个小球，即满足了题设的要求）。然后就变成待分小球总数为23个，球中间有22个空档，需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份，共有C（22，2）=231种不同的方法.

 

点评：对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n件物品分成m组，允许若干组为空的问题.将n件物品分成m组，需要m-1块隔板，将这n件物品和m-1块隔板排成一排，占n+m-1位置，从这n+m-1个位置中选m-1个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有Cn+m-1 m-1种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有Cn+m-1 m-1×1=Cn+m-1 m-1种排法.

 

那么就引出了一个大大的栗子-o.o-：球和袋子的问题 

       n个球和m个袋子，已经有大佬总结好。

这里呢我们再小小的分析一下球和袋子的问题:

      1.将n个不同的球放到m个相同的袋子里有多少种方案？（没有空袋子）

用f[i][j]表示将i个不同的球放到j个相同的袋子，并保证每个袋子里都有球的方案数。

我们考虑第i个球是不是单独放的，f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*j

答案是f[n][0]+f[n][1]+...f[n][m].时间复杂度是O（nm）

 以上为ppt原话，反正我是没怎么懂那个式子是怎么出来的，各位大佬可能懂了吧，我太菜了啊~~~那么，不懂的和我一样的蒟蒻们来看一下我的思路吧：(来自一位蒟蒻的分享)

f[i][j]表示将i个不同的球放到j个相同的袋子中，

假设前面的i-1个球都放好了，放在了j个袋子里，其方案数为f[i-1][j]，此时还有一个球要和哪一坨球同居呢？有j个袋子，有j种选择，所以为f[i-1][j]*j（乘法原理，不要告诉我你不会，这真的是小学数学） 。

假设前i-1个球放在了j-1个袋子里，那么第i个球一定在剩余的空袋子里（保证每个袋子里都有球）已有的方案数为f[i-1][j-1].

加一加，就得到了大佬ppt上的式子：f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*j

 

     2.将n个相同的球放在m个相同的袋子里有多少种方案？

由于袋子是相同的，我们通过保证球数是单调不减的来防止重复统计。用f[i][j]表示将i个相同的球放到j个相同的袋子里的方案数。

考虑第一个袋子是否放球，如果放的话，由于球数单调不减，我们必须在每个袋子里都放一个球。

如果不放的话，那我们直接考虑后面的袋子。

f[i][j]=f[i-j][j]+f[i][j-1].时间复杂度O(nm)