二项式定理与组合数

求组合数(c(m,n))

分类：数学题

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定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c(n,m) 表示。

性质：c(n,m)=c(n,n-m);  c(n,0)=1;

递推公式：c(n,m)=c(n-1,m-1)+c(n-1,m)


C(n+1,m)=c(n,m-1)+c(n,m)=c(n,m-1)+c(n-1,m)+c(n-1,m-1);


C(n,0)+c(n,1)+c(n,2)+……+c(n,m)=c(n+m+1,n);


C(n,n)+c(n+1,n)+c(n+2,n)+……+c(n+m,n)=c(n+m+1,m+1);


C(n,0)+c(n,1)+c(n,2)+……+c(n,n)=2^n;

简单的组合：

#include<iostream>
using namespace std;
long long com(int M,int N)
{
int sum=1;
int m=1;
for(int i=N;i>=M;i--)
{
if(m<=M)
{
   sum=sum*i/m;
   m++;
}
}
return sum;
}
int main()
{
int N,M;
while(cin>>M>>N)
{
cout<<com(M,N)<<endl;
}
} 

 二项式

一、必记知识精选

1.二项式定理：(a＋b)ⁿ＝Caⁿ＋Ca^n－1b＋…＋Ca^n－rb^r＋…＋Cbⁿ(n∈N^*)

2.通项公式：T_r＋1＝Ca^n－rb^r

3.二项式系数性质：

(1)距两端等距离的二项式系数相等，即C＝C.

(2)二项式系数的中间项或中间两项的二项式系数最大.

当n为偶数时，中间一项（即第＋1项）的二项式系数最大;

当n为奇数时，中间两项（即第和第＋1项）的二项式系数最大.

(3)在二项展开式中各项的二项式系数和为2ⁿ，即：

C＋C＋C＋…＋C＝2ⁿ.

(4)在二项展开式中，奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和，都等于2^n－1，即

C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2^n－1.

#include       <map>
#include       <set>
#include     <ctime>
#include     <cmath>
#include     <queue>
#include     <stack>
#include    <cstdio>
#include    <vector>
#include   <cstring>
#include   <cstdlib>
#include  <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
/***********************分割线***********************/
const int Mod=10007;

int f[Mod];
int main()
{
    int a,b,k,n,m;
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
    a%=Mod;
    b%=Mod;
    int x=1;
    for (int i=0; i<n; i++)
    {
        x*=a;
        x%=Mod;
    }//
    int y=1;
    for (int i=0; i<m; i++)
    {
        y*=b;
        y%=Mod;
    }
    f[1]=1;
    
    for (int i=2; i<=k+1; i++)
        for (int j=i; j>=2; j--)
        {
            f[j]+=f[j-1];
            f[j]%=Mod;
        }
    printf("%d",x*y%Mod*f[m+1]%Mod);

    return 0;
}