对数的运算

难点总结

学生在对数运算中的难点分析：

一、不理解对数，不会用对数公式或错用对数公式

①对数(log_23)和指数幂(2^3)一样，也就是个实数而已，所以其也会有加减乘除乘方开方等运算；

比如(2^{2+log_23}=2^2cdot 2^{log_23}=4cdot 3=12)；

②准确记忆对数的运算公式和法则，

【相关复习】指数幂的运算^[1]

(a^b=N(指数式)Longleftrightarrow b=log_aN(对数式))；

对数的性质：(log_a1=0)，(log_aa=1)；

对数的运算法则：(log_aMN=log_aM+log_aN)；

(log_acfrac{M}{N}=log_aM-log_aN)；(log_aM^n=nlog_aM)；

对数恒等式：(a^{log_aN}=N)；

对数换底公式：(log_ab=cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a eq 1;c>0,c eq 1;b>0))

常用公式1：(log_abcdot log_bccdot log_cd= log_ad)；(log_abcdot log_bccdot log_ca= log_aa=1)；

(log_abcdot log_ba=1)；(lne=1)；(lg2+lg5=lg10=1)；

常用公式2：(log_{a^m}{b^n}=cfrac{n}{m}log_ab(m，nin R，a>0，a eq 1，b>0))

③正用、逆用、变用公式；

(log_aM+log_aN=log_aMN)；(log_aM-log_aN=log_acfrac{M}{N})；

(nlog_aM=log_aM^n)；(cfrac{n}{m}log_ab=log_{a^m}{b^n})

④错用公式：(log_a(M+N)=log_aM+log_aN)；(log_a(Mcdot N)=log_aMcdot log_aN)；

二、知道对数的公式和运算法则，但不会灵活运用，对公式中的字母的内涵不理解；

例1化简((log_24)^{log_23}=3)；(log_2^{;;log_216}=log_24=2)；

例2 化简(log_225cdot log_34cdot log_59=8)；提示：换底公式

例3化简(lg^32+lg^35+3lg2lg5)

分析：原式(=(lg2+lg5)(lg^22-lg2lg5+lg^25)+3lg2lg5)

(=lg^22-lg2lg5+lg^25+3lg2lg5)

(=lg^22+2lg2lg5+lg^25=(lg2+lg5)^2=1)；

例4((log_43+log_83)(log_32+log_92))

法1：原式(=(cfrac{1}{2}log_23+cfrac{1}{3}log_23)(log_32+cfrac{1}{2}log_32))

(=(cfrac{1}{2}+cfrac{1}{3})cdot log_23cdot (1+cfrac{1}{2})log_32=cfrac{5}{4})

法2：原式(=(cfrac{1}{log_34}+cfrac{1}{log_38})(cfrac{1}{log_23}+cfrac{1}{log_29}))

(=(cfrac{1}{2log_32}+cfrac{1}{3log_32})(cfrac{1}{log_23}+cfrac{1}{2log_23}))

(=cfrac{5}{6log_32}cdot cfrac{3}{2log_23}=cfrac{5}{4})

三、只会单独运用单个的对数公式，不会组合应用几个对数公式；

例1：计算(5^{log_{25}(lg^22+lgfrac{5}{2})})；

分析：本题目分三个步骤完成：

第一步，先计算(5)的指数位置的对数的真数的值，

(lg^22+lgcfrac{5}{2}=(lg2)^2-lg2+lg5)

(=lg2(lg2-1)+lg5=-lg2lg5+lg5)

(=lg5(1-lg2)=(lg5)^2)

这样，原题目就转化为(5^{log_{25}(lg5)^2})；

第二步，再计算(5)的指数位置的对数的值，

(log_{25}(lg5)^2=log_{5^2}(lg5)^2=cfrac{2}{2}cdot log_5lg5=log_5lg5)；

这样，原题目再次转化为(5^{log_5lg5})；

第三步，利用对数恒等式求值，

(5^{log_5lg5}=lg5)；

故(5^{log_{25}(lg^22+lgfrac{5}{2})}=lg5)；

四、涉及指数、对数的综合运算

①(2^{-log_23}=2^{log_2(3^{-1})}=3^{-1}=cfrac{1}{3})；

②(4^{frac{1}{2}log_210}=(4^{frac{1}{2}})^{log_210}=2^{log_210}=10)；

③(7^{-log_7frac{1}{2}}=(cfrac{1}{2})^{-1}=2)；

④(4^{frac{1}{2}+log_210}=4^{frac{1}{2}}cdot 4^{log_210}=2cdot 2^{log_2{10}^2}=200)；

⑤(cfrac{1}{2}lgcfrac{32}{49}-cfrac{4}{3}lgsqrt{8}+lgsqrt{245})

(=cfrac{1}{2}(lg32-lg49)-cfrac{4}{3}lg8^{frac{1}{2}}+lg245^{frac{1}{2}})

(=cfrac{1}{2}(lg2^5-lg7^2)-cfrac{4}{3}cdot cfrac{1}{2}lg2^3+cfrac{1}{2}lg(49 imes5))

(=cfrac{1}{2}(5lg2-2lg7)-cfrac{2}{3} imes 3lg2+cfrac{1}{2}(2lg7+lg5))

(=cfrac{5}{2}lg2-lg7-2lg2+cfrac{1}{2}lg5+lg7)

(=cfrac{1}{2}lg2+cfrac{1}{2}lg5)

(=cfrac{1}{2}(lg2+lg5)=cfrac{1}{2})。

五、不懂对数运算的策略

例1求值：(5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5})

分析：设(5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5}=x)，两边同时取对数，

得到(lgx=lg[5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5}])，

即(lgx=lg30cdot lg5+lg0.5cdot lgcfrac{1}{3})

即(lgx =(lg3+1)cdot lg5+(-lg2)cdot (-lg3))

即(lgx=lg3cdot lg5+lg5+lg2cdot lg3)

即(lgx=lg3(lg2+lg5)+lg5)

即(lgx=lg3+lg5=lg15)，

即(x=15)；

例2求值：(log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})})

原式=(log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})})

(=cfrac{1}{2}cdot 2 log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})})

(=cfrac{1}{2}log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})^2}=cfrac{1}{2})

例3已知(a，b>0)，且满足(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b))，求(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b})的值；

分析：引入正数因子(k)，

令(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)=k(k>0))，

则由(2+log_2a=log_24a=k)，

得到(4a=2^k)，即(a=cfrac{2^k}{2^2}=2^{k-2})；

由(3+log_3b=log_327b=k)，

得到(27b=3^k)，即(b=cfrac{3^k}{3^3}=3^{k-3})；

由(log_6(a+b)=k)，

得到(a+b=6^k)；

则(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}=cfrac{a+b}{ab})

(=cfrac{6^k}{2^{k-2}cdot 3^{k-3}})

(=cfrac{2^kcdot 3^k}{2^kcdot 2^{-2}cdot 3^kcdot 3^{-3}})

(=cfrac{1}{2^{-2}cdot 3^{-3}})

(=2^2cdot 3^3=108)

六、虽然能做出对数题目，但不能理解题目的训练意图；

例1用(lgx)、(lgy)、(lgz)、(lg(x+y))、(lg(x-y)(x>y>0))表达下列对数式；

①(lg(xyz)=lgx+lgy+lgz)；

②(lg(x^2y^2z^{-3})=2lgx+2lgy-3lgz)；

③(lgcfrac{xy}{x^2-y^2}=lgx+lgy-lg(x+y)-lg(x-y))；

④(lg[cfrac{y}{x(x-y)}]^3=3lgy-lgx-lg(x-y))；

例2解对数方程：(log_2(9^{x-1}-5)=log_2(3^{x-1}-2)+2)

分析：要使得原方程成立，必须先满足条件(9^{x-1}-5>0①)， (3^{x-1}-2>0②)，

在此前提下，原方程等价于(log_2(9^{x-1}-5)=log_24(3^{x-1}-2));

即(9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2))，

即(9^{x-1}-4cdot 3^{x-1}+3=0)，

即((3^{x-1})^2-4cdot 3^{x-1}+3=0)，

即 (3^{x-1}=1)，或者(3^{x-1}=3)，

解(3^{x-1}=1)， 即(3^{x-1}=3^0)，解得(x=1)，

解(3^{x-1}=3)， 即(3^{x-1}=3^1)，解得(x=2)，

验证：将(x=1)和(x=2)代入①②两式，舍去(x=1)，保留(x=2)，

故方程的根为(x=2)。

七、对数学公式的内涵和作用理解不到位

①$$

② (2^{log_23}=3)，这样做的目的是为了化简；

(3=2^{log_23})，这样做的目的是常数指数化，便于求解形如(2^x>3)指数不等式，即(2^x>3=2^{log_23})，

典例剖析

例1计算(cfrac{(1-log_63)^2+log_62cdot log_618}{log_64}=1)

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1. 正整数指数幂：(underbrace{{a imes a imes cdots imes a}}_{n个}=a^n(nin N))；
   
   负整数指数幂：(a^{-n}=cfrac{1}{a^n})；(a^0=1(a eq 0))；
   
   正分数指数幂：(a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^m})；负分数指数幂：(a^{-frac{m}{n}}=cfrac{1}{sqrt[n]{a^m}})；
   
   ({整数}cup{分数}={有理数})；({有理数}cup{无理数}={实数})，
   
   指数的运算法则：((m，nin R))，注意：字母(a、b)的内涵；
   
   公式：(a^mcdot a^n=a^{m+n})；((a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn})；((acdot b)^n=a^ncdot b^n)；
   
   注意逆用：(a^{m+n}=a^mcdot a^n)；(a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m)；(a^ncdot b^n=(acdot b)^n)；
   ↩︎