古典概型习题

例1【2018江南十校联考】

已知集合(M={1，2，3})，(N={1，2，3,4})，定义映射(f： M ightarrow N)，则从中任取一个映射满足由点(A(1，f(1)))，(B(2，f(2)))，(C(3，f(3)))构成( riangle ABC)且(AB=BC)的概率为【】

$A.cfrac{3}{32}$ $B.cfrac{5}{32}$ $C.cfrac{3}{16}$ $D.cfrac{1}{4}$

分析：由映射(f： M ightarrow N)可知，所有的情形有(4^3=64)个，到此我们知道是古典概型，且其分母为64，难点是分析和计算分子。先做出如下图的点阵，

由于点(A，B，C)只能分别取自第一、二、三列，若点(A)取((1，1))，点(C)取((3，2))，则不论点(B)取自第二列的哪一个点，都不能构成等腰三角形，故必须先满足(f(1)=f(3))，且此时(f(2))和(f(1))与(f(3))不能处在同一行。

当(f(1)=f(3)=1)时，即点(A)和点(C)处于第一行时，点(B)只能是((2，2))，((2，3))，((2，4))，有3种可能；

而(f(1)=f(3))所有能取的值为(1，2，3，4)，有4种可能，故构成的等腰三角形共有(4 imes3=12)种，

由古典概型求解公式可知，(P=cfrac{12}{64}=cfrac{3}{16})，故选(C)。

例2【2019凤翔中学理科数学二轮资料限时训练5第13题】从(cfrac{1}{3})，(cfrac{1}{2})，(2)，(3)，(5)，(9)中任取两个不同的数，分别记为(m)，(n)，则"(log_mn>0)"的概率为______。

分析：从6个数中任取2个数，共有(A_6^2=30)种等可能结果，

当(m，nin (0，1))时，有(A_2^2=2)种，

当(m，nin (1，+infty))时，有(A_4^2=12)种，

故所求概率为(P=cfrac{14}{30}=cfrac{7}{15})。或(P=cfrac{C_2^2+C_4^2}{C_6^2}=cfrac{7}{15}).

例3【2018江西南昌二模】在《周易》中，长横表示阳爻，两个短横表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有(2^3＝8)种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有4种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，有8种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻、三个阴爻的概率是【】

$A.cfrac{1}{7}$ $B.cfrac{9}{16}$ $C.cfrac{5}{16}$ $D.cfrac{5}{8}$

分析：六爻共有(2^6=64)种，其中三阳爻三阴爻有(C_6^3=20)种，说明：相当于从((阳+阴)^6)展开式中取三阳爻三阴爻，故有(C_6^3cdot C_3^3=20)种，则所求概率为(P=cfrac{20}{64}=cfrac{5}{16})，故选(C)。

例4【2019届高三理科数学模拟训练用题】某食品厂制作了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”，“和谐福”，“友善福”，每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为【】

$A.cfrac{3}{8}$ $B.cfrac{8}{27}$ $C.cfrac{4}{9}$ $D.cfrac{8}{9}$

法1：用古典概型求解，由于每袋中都装有3种卡片之一，故买4袋食品得到的卡片的构成方式共有(3^4=81)种，

而要能获奖的情形之一是得到(2)张富强福，(1)张友善福，(1)张和谐福，相当于从((富强+和谐+友善)^4)的中，

按照如此的思路利用组合法抽取得到，(C_4^2cdot 富cdot C_2^1cdot 和cdot C_1^1cdot 友)，

即有(C_4^2cdot C_2^1cdot C_1^1=12)种，而这样的获奖情形还有其他两种相同的情形，

比如得到(2)张和谐福，(1)张富强福，(1)张友善福和(2)张友善福，(1)张富强福，(1)张和谐福，

故获奖的所有情形有(C_4^2cdot C_2^1cdot C_1^1cdot 3=36)种，则获奖概率为(P=cfrac{36}{81}=cfrac{4}{9})，故选(C).

法2：利用相互独立事件的概率求解；由于每袋中抽到三张卡片之一的概率都相等，都是(cfrac{1}{3})，故可以这样求解，

相当于从((cfrac{1}{3}+cfrac{1}{3}+cfrac{1}{3})^4)的展开式中，按照如下的思路来抽取，则有

即(C_4^2cdot (cfrac{1}{3})^2cdot C_2^1cdot cfrac{1}{3}cdot C_1^1cdot cfrac{1}{3}cdot 3=cfrac{4}{9})。

法3：保底法，买4袋食品得到的卡片的构成方式共有(3^4=81)种，获奖情形共有(C_4^1cdot C_3^1cdot C_2^1cdot 3=72)，故所求概率为(P=cfrac{72}{81}=cfrac{8}{9})。这是最容易错误的解法，错误原因是保底法的计数极其容易造成重复，但又不容易自知。