前言
求通项公式题型中，如果给定条件最终可以转化为(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n))的形式，或者可以转化为(cfrac{a_n}{a_{n-1}}=f(n))的形式，则我们就可以考虑使用累乘法求通项公式。
注意事项
①由已知的原始表达式衍生出(n-1)个同结构的表达式，其前提条件为(nge 2)，但是求积时只需要这(n-1)个表达式，不用原始表达式参与求和，等号左端约分消项的结果往往是(cfrac{a_n}{a_1})，右端约分可消项，故可以求积；同时注意对(n=1)的条件的验证。
②等号两端的约分的方向有可能不一样，比如左端是从左下到右上约分，右端可能就变化为从右上到左下约分，注意思维的灵活性。
③注意每一个衍生式子的下标与上标的联系，以防止写错。
适用类型
累乘法主要适用于以下情形：
①(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q)((q)为常数)；
②(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n))((f(n))为变量)；
③能转化为(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n))((f(n))为变量)；
方法介绍
例1已知正项数列({a_n})的(a_1=1)，((n+1)a_{n+1}-na_n=0)，求数列的通项公式。
法1：累乘法，变形为(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=cfrac{n}{n+1})，由此式子可得到
[cfrac{a_n}{a_{n-1}}=cfrac{n-1}{n}，
]
[cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=cfrac{n-2}{n-1}，
]
[cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=cfrac{n-3}{n-2}，
]
[cdots，cdots，
]
[cfrac{a_2}{a_1}=cfrac{1}{2}，
]
以上(n-1)个式子相乘得到，当(nge 2)时，
[cfrac{a_n}{a_{n-1}}cdot cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}cdot cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}cdot cdots cfrac{a_2}{a_1}=cfrac{n-1}{n} cdot cfrac{n-2}{n-1} cdotcfrac{n-3}{n-2}cdot cdotscfrac{1}{2}
]
[cfrac{a_n}{amkern-8.5mu/_{n-1}}cdot cfrac{amkern-8.5mu/_{n-1}}{amkern-8.5mu/_{n-2}}cdot cfrac{amkern-8.5mu/_{n-2}}{amkern-8.5mu/_{n-3}}cdot cdots cfrac{amkern-8.5mu/_2}{a_1}=cfrac{nmkern-8.5mu/-1mkern-8.5mu/}{n} cdot cfrac{nmkern-8.5mu/-2mkern-8.5mu/}{nmkern-8.5mu/-1mkern-8.5mu/} cdotcfrac{nmkern-8.5mu/-3mkern-8.5mu/}{nmkern-8.5mu/-2mkern-8.5mu/}cdot cdotscfrac{1}{2mkern-8.5mu/}
]
即(cfrac{a_n}{a_1}=cfrac{1}{n})，故(a_n=cfrac{1}{n}(nge 2))，
当(n=1)时，(a_1=1)满足上式，故所求通项公式(a_n=cfrac{1}{n}(nin N^*))。
解后反思：
①用累乘法也可以求等比数列的通项公式，有点大材小用之嫌；
②累乘法尤其适用于比值不是相等即变化的情形，比如(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n))的情形。
③求解形如(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n))时，表达式(f(n))必须有可乘性。
比如，(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=cfrac{n}{n+1}=f(n))，此时右端可以用累乘相消简化结果。
但是像这样的情形，(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=n^2+2n=f(n))，此时右端就不具有可乘性[用现有的方法不能求解其乘积的结果]，不能使用这个方法。
④你必须意识到不是所有形如(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n))的形式都可以使用累乘法求通项公式。
法2：如果你对数列(a_{n+1}-a_n=d)中的(a_n)类的内涵理解的比较深刻，那么本题目还可以这样求解，
由已知容易知道数列({na_n})是首项为1，公差为0的等差数列，
故(na_n=1+(n-1)cdot 0)，即(a_n=cfrac{1}{n}(nin N^*))。
典例剖析
例2在数列({a_n})中，(a_1=1)，若(3S_{n}=(n+2)a_n)，求(a_n)=_____________。
提示：本题目属于(S_n=f(n，a_n))且直接求解(a_n)的形式；
当(ngeqslant 2)时，(3S_{n-1}=(n+1)a_{n-1})，
两式作差得到，(3(S_n-S_{n-1})=3a_n=(n+2)a_n-(n+1)a_{n-1}(ngeqslant 2))，
整理为((n-1)a_n=(n+1)a_{n-1}(ngeqslant 2))，即
[cfrac{a_n}{a_{n-1}}=cfrac{n+1}{n-1}
]
由上式衍生出以下式子：
[cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=cfrac{n}{n-2}
]
[cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=cfrac{n-1}{n-3}
]
[cdots，cdots，cdots
]
[cfrac{a_{3}}{a_{2}}=cfrac{4}{2}
]
[cfrac{a_{2}}{a_{1}}=cfrac{3}{1}
]
以上(n-1)个式子累乘得到，当(ngeqslant 2)时，
[cfrac{a_n}{a_{n-1}} imescfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}} imescfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}} imes cdots imes cfrac{a_{3}}{a_{2}} imes cfrac{a_{2}}{a_{1}}=cfrac{n+1}{n-1} imes cfrac{n}{n-2} imes cfrac{n-1}{n-3} imes cdots imescfrac{4}{2} imescfrac{3}{1}
]
约分后整理为
[cfrac{a_n}{a_1}=cfrac{(n+1)n}{2 imes 1}(ngeqslant 2)
]
即(a_n=cfrac{(n+1)n}{2}(ngeqslant 2))，
当(n=1)时，(a_1=1=cfrac{(1+1) imes1}{2})，故满足上式，
即所求通项公式为(a_n=cfrac{n(n+1)}{2}(nin N^*)).
对应练习
练1在数列({a_n})中，(a_1=1)，若(a_{n+1}=cfrac{n}{n+2}a_n)，求(a_n)=_____________。
提示：由(a_{n+1}=cfrac{n}{n+2}a_n)，得到(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=cfrac{n}{n+2})
则当(ngeqslant 2)时，
[cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=cfrac{n-1}{n+1}
]
[cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=cfrac{n-2}{n}
]
[cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=cfrac{n-3}{n-1}
]
[cdots，cdots，cdots
]
[cfrac{a_{3}}{a_{2}}=cfrac{2}{4}
]
[cfrac{a_{2}}{a_{1}}=cfrac{1}{3}
]
以上(n-1)个式子累乘得到，当(ngeqslant 2)时，
[cfrac{a_{n}}{a_{n-1}} imescfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}} imescfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}} imes cdots imes cfrac{a_{3}}{a_{2}} imes cfrac{a_{2}}{a_{1}}=cfrac{n-1}{n+1} imes cfrac{n-2}{n} imescfrac{n-3}{n-1} imes cdots imes cfrac{2}{4} imes cfrac{1}{3}
]
约分整理得到，当(ngeqslant 2)时，(cfrac{a_n}{a_1}=cfrac{2 imes 1}{(n+1)n})
即(a_n=cfrac{2}{n(n+1)}(ngeqslant 2))，
再验证(n=1)时，(a_1=1=cfrac{2}{1 imes (1+1)})，满足上式，
故所求通项公式为(a_n=cfrac{2}{n(n+1)}(nin N^*))，
练2在数列({a_n})中，(a_1=1)，若(3a_{n+1}=(1+cfrac{1}{n})^2cdot a_n)，求(a_n)=_____________。
分析：由(3a_{n+1}=(1+cfrac{1}{n})^2cdot a_n)，得到(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=cfrac{(n+1)^2}{3cdot n^2}=cfrac{1}{3} imes cfrac{(n+1)^2}{n^2})
则当(ngeqslant 2)时，
[cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=cfrac{1}{3} imes cfrac{n^2}{(n-1)^2}
]
[cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=cfrac{1}{3} imes cfrac{(n-1)^2}{(n-2)^2}
]
[cdots，cdots，cdots
]
[cfrac{a_{3}}{a_{2}}=cfrac{1}{3} imes cfrac{3^2}{2^2}
]
[cfrac{a_{2}}{a_{1}}=cfrac{1}{3} imes cfrac{2^2}{1^2}
]
以上(n-1)个式子累乘得到，当(ngeqslant 2)时，
[cfrac{a_{n}}{a_{n-1}} imescfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}} imescdots imescfrac{a_{3}}{a_{2}} imescfrac{a_{2}}{a_{1}}=(cfrac{1}{3})^{n-1} imes cfrac{n^2}{(n-1)^2} imes cfrac{(n-1)^2}{(n-2)^2} imes cdots imescfrac{3^2}{2^2} imescfrac{2^2}{1^2}
]
则(cfrac{a_n}{a_1}=cfrac{n^2}{3^{n-1}}(ngeqslant 2))，即(a_n=cfrac{n^2}{3^{n-1}}(ngeqslant 2))
再验证(n=1)时，(a_1=1)，(cfrac{1^2}{3^{1-1}}=1)，满足上式，
故所求通项公式为(a_n=cfrac{n^2}{3^{n-1}}(nin N^*)).