前言
函数概念
函数的概念有两个，其一为初中的定义，称为传统定义，其二为高中的定义，称为近代定义。
传统定义：设在某变化过程中有两个变量(x)、(y)，如果对于(x)在某一范围内的每一个确定的值，(y)都有唯一确定的值与它对应，那么就称(y)是(x)的函数，(x)叫做自变量。我们将自变量(x)取值的集合叫做函数的定义域，和自变量(x)对应的(y)的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
近代定义：设(A)，(B)都是非空的数集，(f：x→y)是从(A)到(B)的一个对应法则，那么从(A)到(B)的映射(f：A→B)就叫做函数，记作(y=f(x))，其中(x∈A)，(y∈B)，原象集合(A)叫做函数(f(x))的定义域，象集合(C)叫做函数(f(x))的值域，显然有(Csubseteq B)。
- 对函数概念的理解
函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。
- 为什么要做这样的安排？
就高中的教学实践来看，高中阶段的学生接受映射这个抽象的数学概念都难度很大，更不用说初中学生了，故初中一般安排用传统定义来刻画函数，从运动变化的观点定义函数，便于学生理解和接受；随着学生的认知程度的提高，阅历的增加，接触函数的增多，用传统定义刻画的函数定义越来越不好解释函数的概念，比如迪利克雷函数，(f(x)=left{egin{array}{l}{1，xin Q}\{0，x otin Q，}end{array} ight.) 她本质的体现是一种对应，而不是运动变化过程。故需要对函数的定义做出调整；
同时还需要注意到，使用函数的近代定义来刻画函数，她还需要能向下兼容传统定义。这一点是满足的。故高中阶段采用先定义对应，然后在对应的概念基础上再定义映射，最后以映射为基础定义函数。
角的概念
- 初中定义：[静态定义]由公共端点的两条射线组成的图形，成为角。由此定义很容易理解其刻画的角的最大范围为( hetain [0^{circ}，360^{circ}])。
如下图所示，
但是，在日常生活中，我们经常会拧开水瓶盖子，顺时针几圈或者逆时针几圈，显然这时候静态角的范围已经不够用了，需要调整，这时候就需要动态角的概念粉墨登场了。
- 高中定义：[动态定义]将一条射线的端点放置在直角坐标的原点位置，射线和(x)轴的非负半轴重合，此时如果逆时针旋转就形成了正角，范围可以拓展到((0，+infty))；如果顺时针旋转就形成了负角，范围可以拓展到((-infty，0))；如果不做选择就形成零角；这样采用动态定义，就能很容易将角的范围扩充到((-infty，+infty))；
而且这种定义方式也是能兼容角的静态定义的。
三角函数概念
- 初中定义：同样由于受学生的认知能力和角的范围的限制，只是在(Rt riangle)中定义，(sin heta=cfrac{对边}{斜边})，(cos heta=cfrac{邻边}{斜边})；这种定义的缺陷是三角函数的自变量( heta)的范围只能是([0^{circ}，90^{circ}])。
而高中的角的范围已经扩充到了((-infty，+infty))，显然上述的初中定义已经不能用了，需要更新，应该怎么更新呢？
- 高中定义：将角放置到平面直角坐标系中，初始边放置到(x)轴的非负半轴上，终边随其落在某个象限或者坐标轴上，然后在终边上任取一点(不是原点)(P(x，y))，则(r=|OP|=sqrt{x^2+y^2})，则(sin heta=cfrac{y}{r})，(cos heta=cfrac{x}{r})，(tan heta=cfrac{y}{x})，
很显然，这种定义方式可以刻画((-infty，+infty))范围内的任意一个角的三角函数，而且兼容范围([0^{circ}，90^{circ}])，也就是说高中的三角函数的定义同样能解释初中的三角函数的定义，体现了数学概念发展的扬弃。
补充，只能用定义解题的题目。
切线概念
-
初中定义：由于受学生的认知能力的限制，直线和曲线[初中接触的曲线主要是圆]只有一个交点的情形，我们称为直线和曲线相切，比如直线和圆只有一个交点时，称为直线和圆相切，当然直线和圆相切时也必然只有一个交点；
-
高中定义：我们称曲线的割线的极限为切线，这一定义方式也是向下兼容的，即可以完美解释初中的定义，而且更有利于我们研究更多的曲线。
上图演示的是，圆的割线的的极限位置就是切线；
在高中切线的定义的支撑下，我们就不能再认为，直线和曲线只有一个交点时二者相切，也不能认为直线和曲线相切时只有一个交点。
- 当直线和曲线相切时，不一定只有一个交点，也可能有无数个交点，
比如直线(y=1)和曲线(y=sinx)，二者相切，有无数个交点。
- 当直线和曲线只有一个交点时，不一定是相切的，也可能相交，
比如直线(x=1)和抛物线(y=(x-1)^2)只有一个交点，但此时二者是相交的，不是相切的。