根式和根式函数

前言

根式函数一般指被开方数中含有自变量的函数，涉及到根式函数的性质的研究，我们常观察所给的根式函数的结构特征，可以考虑代数换元法或者三角换元法，函数性质法，分子或者分母有理化，数形结合法等；万一这些思路都失效时，就可以考虑借助终极方法[导数法]来解决。

(x=cfrac{apmsqrt{a^2+2}}{2})的正负判断；

典例剖析

例1已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{2^{-x}+1，xleqslant 0}\{-sqrt{x}，x>0}end{array} ight.)，则(f(x+1)-9leqslant 0)的解集为__________。

分析：由题目可知，(f(x+1)=left{egin{array}{l}{2^{-(x+1)}+1，x+1leqslant 0}\{-sqrt{x+1}，x+1>0}end{array} ight.)

即(f(x+1)=left{egin{array}{l}{2^{-(x+1)}+1，xleqslant -1}\{-sqrt{x+1}，x>-1}end{array} ight.)

故(f(x+1)-9leqslant 0)等价于以下两个不等式组：

(①left{egin{array}{l}{xleqslant -1}\{2^{-(x+1)}+1-9leqslant 0}end{array} ight.) 或(②left{egin{array}{l}{x>-1}\{-sqrt{x+1}-9leqslant 0}end{array} ight.)

解①得到，(-4leqslant xleqslant -1)；解②得到，(x>-1)；

综上可知，解集为([-4，+infty))。

注意：无理不等式(-sqrt{x+1}-9leqslant 0)的解法；变形为(-sqrt{x+1}leqslant 9)后，不能两边平方，此时只需要满足(x+1geqslant 0)让根式有意义即可；即其解集为([-1,+infty))；

例2求函数(f(x)=x-sqrt{2-x})的值域。

[法1]：代数换元法，先求定义域为((-infty，2])，

令(sqrt{2-x}=tge 0)，则(x=2-t^2)，故原函数可以转化为(f(x)=g(t)=2-t^2-t(tge0)=2-(t^2+t+cfrac{1}{4})-cfrac{1}{4}=cfrac{9}{4}-(t+cfrac{1}{2})^2)，

故在([0，+infty))上单调递减，(f(x)_{max}=g(t)_{max}=g(0)=2)，故值域为((-infty，2])；

[法2]：利用单调性，直接从函数解析式分析，

函数(f(x)=x-sqrt{2-x})在定义域((-infty，2])上单调递增，故(f(x)_{max}=f(2)=2)。故值域为((-infty，2])；

解后反思：对于形如(f(x)=ax+bpm sqrt{cx+d})型的函数求值域，用代数换元法总能将其转化为二次函数在限定区间上的值域问题，因此法1是通用方法；而法2的适用性有一定的限制。

例3求函数(f(x)=x+sqrt{1-x^2})的值域。

分析：求定义域得到(xin[-1，1])，故做三角换元令(x=cos heta, hetain[0，pi])，

则函数(f(x)=x+sqrt{1-x^2}=cos heta+sqrt{1-cos^2 heta})

(=cos heta+|sin heta|=sin heta+cos heta)(=sqrt{2}sin( heta+cfrac{pi}{4})in[-1，sqrt{2}])，

故函数的值域为([-1，sqrt{2}])。

例4求函数(f(x)=x-sqrt{2-x^2})的值域.

提示：定义域为(xin[-sqrt{2}，sqrt{2}])，故令(x=sqrt{2}cos heta)，且( hetain [0，pi])，

那么原函数转化为(f(x)=x-sqrt{2-x^2}=sqrt{2}cos heta-sqrt{2}sin heta=2cos( heta+cfrac{pi}{4})in [-2，sqrt{2}])。

例5函数(y=f(x)=x+sqrt{-x^2+10x-23})的最小值；

[法1]：原函数可以转化为(y=x+sqrt{2-(x-5)^2})，

由于(2-(x-5)^2geqslant 0)，得到(|x-5|leqslant sqrt{2})，

令(x-5=sqrt{2}cosalpha)，则(alphain [0,pi])，且(x=sqrt{2}cosalpha+5),

则(y=x+sqrt{2-(x-5)^2}=sqrt{2}cosalpha+5+sqrt{2sin^2alpha})

(=sqrt{2}cosalpha+5+sqrt{2}sinalpha=2sin(alpha+cfrac{pi}{4})+5)

由于(alphain [0,pi])，则(sin(alpha+cfrac{pi}{4})in [-cfrac{sqrt{2}}{2},1])

故(y_{min}=5-sqrt{2})，(y_{max}=7)，

[法2]：令(-x^2+10x-23geqslant 0)，得到函数的定义域为([5-sqrt{2}，5+sqrt{2}])，

又由于(y=-x^2+10x-23=-(x-5)^2+2)，故原函数必然在区间([5-sqrt{2},5])上单调递增，甚至能延伸到区间([5-sqrt{2},x_0])，(x_0>5)，在区间([x_0,5+sqrt{2}])上单调递减，

故其最小值必然(f(x)_{min}=min{f(5-sqrt{2})，f(5+sqrt{2})})，又(f(5-sqrt{2})=5-sqrt{2})，(f(5+sqrt{2})=5+sqrt{2})，

故(f(x)_{min}=5-sqrt{2}).

解后反思：一般而言，对于形如(y=ax+bpm sqrt{ax^2+dx+e})型的常可以考虑三角换元；

例6函数(y=sqrt{x^2+9}+sqrt{x^2-8x+41})的最小值为________________。

分析：借助平面内两点间距离公式，将函数转化为(y=sqrt{(x-0)^2+(0-3)^2}+sqrt{(x-4)^2+(0-5)^2})，

所给函数可以看作是点(P(x，0))到两定点(A(0，3))和(B(4，5))的距离之和，即在(x)轴上求一点(P)，使之到(x)轴同侧两点(A)，(B)的距离之和最小，

又(A)点关于(x)轴的对称点(A'(0，-3))，故(|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|geqslant |A'B|=4sqrt{5})，故所求最小值为(4sqrt{5})。

解后反思：一般而言，对于形如(y=sqrt{ax^2+bx+c}pm sqrt{dx^2+ex+f})型的常可以考虑数形结合；

例7若(f(x)=sqrt{x-2}+sqrt{x^2-2x+4})的最小值与(g(x)=sqrt{x+a}-sqrt{x-a}(a>0))的最大值相等，则(a)的值为【】

$A.1$ $B.sqrt{2}$ $C.2$ $D.2sqrt{2}$

分析：函数(f(x))的定义域为([2,+infty))，由于函数(y=sqrt{x-2})在([2,+infty))上单调递增，函数(y=sqrt{x^2-2x+4})在([2,+infty))上单调递增，

则函数(f(x))在([2,+infty))上单调递增，故(f(x)_{min}=f(2)=2)；

又由于函数(g(x)=sqrt{x+a}-sqrt{x-a}(a>0))的定义域为([a,+infty))，下面研究其单调性；

思路一：分子有理化，函数(g(x)=sqrt{x+a}-sqrt{x-a}=cfrac{sqrt{x+a}-sqrt{x-a}}{1})

(=cfrac{(sqrt{x+a}-sqrt{x-a})(sqrt{x+a}+sqrt{x-a})}{sqrt{x+a}+sqrt{x-a}})(=cfrac{2a}{sqrt{x+a}+sqrt{x-a}})

故函数(g(x))在定义域([a,+infty))上单调递减；

思路二：导数法，(g'(x)=cfrac{1}{2sqrt{x+a}}-cfrac{1}{2sqrt{x-a}}=cfrac{1}{2}cdot cfrac{sqrt{x-a}-sqrt{x+a}}{sqrt{x+a}cdot sqrt{x-a}}<0)恒成立，

故函数(g(x))在定义域([a,+infty))上单调递减；

则(g(x)_{max}=g(a)=sqrt{2a})，由题可知，(2=sqrt{2a})，解得(a=2)，故选(C)。

解后反思：一般而言，对于形如(y=sqrt{ax+b}pm sqrt{cx^2+dx+e})型的常可以考虑单调性性质法；形如(y=sqrt{x+a}pm sqrt{x-a})型可以考虑分子有理化，单调性性质法，导数法；

例7化简：(sqrt{2+2cos8}+2sqrt{1-sin8})

分析：如果你能注意到(8=2 imes 4)，则可能想到利用二倍角公式，想办法将被开方数凑成一个完全平方数的形式，

原式(=sqrt{2}sqrt{1+cos8}+2sqrt{1-sin8})

(=sqrt{2}sqrt{2cos^24}+2sqrt{sin^24+cos^24-2sin4cdot cos4})

(=2|cos4|+2sqrt{(sin4-cos4)^2})

(=2|cos4|+2|sin4-cos4|)

(=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4)

反思总结：(4radapprox 229^{circ})，终边在第三象限的后半段，此时(cos4>sin4)。