区间断想

前言

集合与区间

表示集合的形式有列举法，描述法，区间法，字母法，韦恩图法，区间仅仅是集合的表示形式之一。比如区间([a,b])，我们一般认为其(aleqslant b)，当(a=b)时可以理解为区间退化为一个点。为便于理解和描述，我们可以称端点值为定值的区间([2,3])为定区间，称端点值为变化的值的区间([m+1,2m-1](min R))为动区间。这样就涉及到如何刻画一个区间为空集和非空集合的问题。

例1已知集合(A={xmid -2leq xleq 7})，集合(B={xmid m+1< x<2m-1 })，若(Bsubseteq A)，则实数(m)的取值范围是什么？

分析：集合(A)为定集，集合(B)为动集，又因为出现了条件(Bsubseteq A)，故需要针对集合(B)分类讨论如下：

1、当集合(B=varnothing)时，则有(m+1ge 2m-1)，解得(mleq 2)；

2、当集合(B eqvarnothing)时，必须满足三个条件，即 (left{egin{array}{l}{m+1< 2m-1}\{ -2 leq m+1}\{2m-1 leq7}end{array} ight.)，解得(2<mleq 4)；

综上所述：实数(m)的取值范围是({mmid mleq 4})。

取值范围与区间

涉及到取值范围的问题，初中我们还可以用 (2<x<3) 这样的不等式形式来刻画取值范围，但是当我们学习了集合这一工具以后，我们一般就转为采用集合的相关表示形式来刻画，比如采用区间((2,3))或者({xmid 2<x<3})，更多采用区间来描述，很明显这种表示简单快捷。当我们强迫自己这样适应或者有意识这样适应还有一个好处，碰到求单调区间的问题，自然就不会将结果写成单调区间为(2<x<3)，而会自然而然的写为区间((2，3))。

另外，碰到求定义域，值域，方程的解集，不等式的解集问题，我们自然也应该想到用集合的相关表示形式来刻画。

单调性与区间

在刻画函数的单调性的时候，首先涉及到的概念就是区间[连续型函数]或者定义域的子集[离散型函数]，由于函数的单调性是函数的局部性质，不一定是函数的定义域上的共有性质，故先取定义域内的某一个区间(D)[或子集]来刻画，如果(x_1<x_2in D)，满足(f(x_1)<f(x_2))，则称函数(f(x))在区间(D)上是增加的，比如函数(f(x)=x^2)，在区间((-infty，0])上是减少的(或者称为递减的)，在区间([0，+infty))上增加的(或者称为递增的)，我们称区间((-infty，0])为单调递减区间，称区间([0，+infty))为单调递增区间，单调递减区间和单调递增区间合称单调区间。
大多函数在定义域的区间上有增有减，还有些函数在其定义域上只有增加的或者只是减少的，说明这样的函数相比其他的函数显得更纯粹，更特殊，可以将这样的函数重新定义，以便于和其他的函数区分开来。比如(f(x)=2^x)在其定义域((-infty，+infty))上只是增加的，这就显得很特殊，此时我们就称这个函数是增函数，同理函数(g(x)=(cfrac{1}{e})^x)为减函数；将增函数和减函数统称为单调函数。如果函数有单调性，我们自然想知道函数在哪些区间上是增加的，哪些区间上是减少的，故涉及到求函数的单调区间问题以及单调区间的写法。

求单调区间

例1写出函数(f(x)=cfrac{1}{x})的单调区间。

分析：函数的定义域为((-infty，0)cup (0，+infty))，不能写成((-infty，0))和((0，+infty))，也不能写成((-infty，0))或((0，+infty))；

单调递减区间为((-infty，0))和((0，+infty))，或者写成单调递减区间为((-infty，0))，((0，+infty))；不能写成((-infty，0)cup (0，+infty))。

上述的叙述弄糊涂了好多学生，到底怎么理解呢？

函数的定义域是自变量的取值集合，既然为集合，就应该写成((-infty，0)cup (0，+infty))，区间与区间之间的符号应该用符号(cup)，而不是用文字和，或等，故定义域不能写成((-infty，0))和((0，+infty))，也不能写成((-infty，0))或((0，+infty))；

那么上述的单调递减区间为什么必须写成((-infty，0))和((0，+infty))呢？这样写意味着我们刻画单调性时，取自变量(x_1)，(x_2)只能取自区间((-infty，0))，或者只能取自区间((0，+infty))，此时如果令(x_1<x_2<0)，或者(0<x_1<x_2)，由图像都会得到(f(x_1)>f(x_2))，故函数在区间((-infty，0))和((0，+infty))上都是单调递减的；

如果将单调递减区间写成((-infty，0)cup (0，+infty))，则意味着我们刻画单调性时，取自变量(x_1)，(x_2)时可以跨区间取值，即(x_1in (-infty，0))，(x_2in (0，+infty))，则必然有(x_1<x_2)，而由图像很明显可以得到(f(x_1)<f(x_2))，这样的话函数应该是单调增加的，我们都知道这样的结论是错误的，究其原因，函数在点(x=0)处的图像是不连续的，且函数在点(x=0)的两侧的函数值发生了很大的变化。

区间的并与不并

知识点【函数性质综合应用中的难点】注意对比两个例子中的单调性和图像，比如

①已知定义在(R)上的奇函数(f(x))，在((0，+infty))上单调递增，则函数图像可能是①，而不可能是②；此时的单调区间就不能写成((-infty，0)cup (0，+infty))。

②已知定义在(R)上的奇函数(f(x))，在([0，+infty))上单调递增，则函数图像可能是②，而不可能是①；此时的单调区间就必须写成((-infty，0]cup [0，+infty))，即((-infty，+infty))，即函数是增函数，以便于我们利用增函数这条性质解决更多的问题。

备注：如果区间之间有间隔，比如区间([1,2])和([3,4])，即使单调性相同，也不能写成并集。

例2已知奇函数(f(x))的定义域为([-2，2])，且在区间([0，2])单调递增，求解不等式(f(3x+1)>f(1-2x))，

分析：由区间([0，2])单调递增，和奇函数可知，则函数在区间([-2，0])上单调递增，

故函数(f(x))在区间([-2，2])单调递增，

再由定义域和单调性可知(left{egin{array}{l}{-2leq 3x+1leq 2}\{-2leq 1-2xleq 2}\{3x+1>1-2x}end{array} ight.)

解集，略。

说明：定义域上的单调性没有直接给出，需要我们借助奇偶性自行推导。