例说三角函数图像变换

前言

三角函数的图像变换，其操作实质是对横坐标和纵坐标的替换。可以利用相关点法来说明；

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相关点法，可以这样理解，相关点法是所有函数图像变换的依托和基础，不仅仅局限于三角函数的图像变换；

典例剖析

• 相位变换

例1由(y=sin(2x-cfrac{pi}{3}))变形得到(y=sin(2x+cfrac{pi}{6}))；

从形上刻画：向左平移(cfrac{pi}{4})个单位得到；

从数上刻画：用(x+cfrac{pi}{4}Rightarrow x)，

原因分析：相位变换即左右平移的本质是用(x+phi)替换(x)后整理得到的；

故由(2(x+phi)-cfrac{pi}{3}=2x+2phi-cfrac{pi}{3}=2x+cfrac{pi}{6})，

解得(phi=cfrac{pi}{4})，[左加右减的口诀是用在(x+phi=x+cfrac{pi}{4})上]

即用(x+cfrac{pi}{4})替换(x)，故向左平移(cfrac{pi}{4})个单位得到；^[1]

例2由(y=sin(2x-cfrac{pi}{3}))变形得到(y=sin(6x-cfrac{pi}{3}))；

从形上刻画：横坐标缩短为原来的(cfrac{1}{3})倍得到；

从数上刻画：用(3xRightarrow x)，

原因分析：周期变换即横向伸缩的本质是用(omega x)替换(x)后整理得到的；
(y=sin(2x-cfrac{pi}{3}))的原有横坐标系数(omega_0=2)，
显然(y=sin(6x-cfrac{pi}{3}))是表达式(y=sin(2x-cfrac{pi}{3}))中的(x)被(3x)替换后得到的，^[2]

(y=sin[2 imes (3x)-cfrac{pi}{3}]=sin(6x-cfrac{pi}{3}))，

例3【例说有关变换次序的问题】

次序1：先相位变换，后周期变换；初始源函数(f(x)=3sin(cfrac{1}{2}x-cfrac{pi}{3}))；

①首先，图像向右平移(cfrac{pi}{3})个单位，即用(x-cfrac{pi}{3})替换上述解析式中的(x)，

整理得到(y=3sin[cfrac{1}{2}(x-cfrac{pi}{3})-cfrac{pi}{3}]=3sin(cfrac{1}{2}x-cfrac{pi}{2})=-3coscfrac{x}{2})

②然后，将得到的函数图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的(3)倍，

即用(cfrac{1}{3}x)替换(y=-3coscfrac{x}{2})中的单独的自变量(x)，得到(y=-3coscfrac{x}{6})；

次序2：先周期变换，后相位变换；初始源函数(f(x)=3sin(cfrac{1}{2}x-cfrac{pi}{3}))；

①首先，将源函数图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的(3)倍，

即用(cfrac{1}{3}x)替换(f(x)=3sin(cfrac{1}{2}x-cfrac{pi}{3}))中的单独的自变量(x)，得到(y=3sin(cfrac{1}{6}x-cfrac{pi}{3}))；

②然后，将得到的图像图像，向右平移(cfrac{pi}{3})个单位，即用(x-cfrac{pi}{3})替换上述解析式(y=3sin(cfrac{1}{6}x-cfrac{pi}{3}))中的(x)，

整理得到(y=3sin[cfrac{1}{6}(x-cfrac{pi}{3})-cfrac{pi}{3}]=3sin(cfrac{1}{6}x-cfrac{7pi}{18}))；

引申拓展

由于上述的解题经验其实是用相关点法做基础得出的，即三角函数图像的变换本质是坐标的替换，所以完全可以引申到所有函数的图像变换；

例4【2020届高三模拟训练】把函数(y=3^x)的图像沿(x)轴向左平移(m(m>0))个单位长度，得到函数(f(x)=10)( imes)(3^x)的图像，则(f(m))=【】

$A.10$ $B.20$ $C.30$ $D.100$

分析：把函数(y=3^x)的图像沿(x)轴向左平移(m(m>0))个单位长度，

得到(y=3^{x+m}=3^x imes 3^m=f(x))，又题目已知(f(x)=10 imes 3^x)

故(3^m=10)，则(f(m)=10 imes 3^m=10 imes 10=100)，故选(D)。

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1. 用相关点法作深度分析，设变换前函数图像上的任一点坐标为(P(x,y))，
   变换后函数图像上对应的点的坐标为(P'(x_1,y_1))；
   则其施行的变换公式为(left{egin{array}{l}{x_1=x+phi}\{y_1=y}end{array} ight.)，即其逆变换公式为(left{egin{array}{l}{x=x_1-phi}\{y=y_1}end{array} ight.)，
   将其代入已知的函数解析式，得到(y_1=sin[2(x_1-phi)-cfrac{pi}{3}])，整理为(y_1=sin(2x_1-2phi-cfrac{pi}{3}))，
   变换解释后我们往往就会将下标去掉，得到(y=sin(2x-2phi-cfrac{pi}{3}))，其应该等价于(y=sin(2x+cfrac{pi}{6}))，
   于是解得(phi=-cfrac{pi}{4})，故我们是用(x_1-(-cfrac{pi}{4})=x_1+cfrac{pi}{4})替换的原解析式中的(x)，
   由于是(+)，故应该向左平移(cfrac{pi}{4})个单位； ↩︎

2. 用相关点法作深度分析，设变换前函数图像上的任一点坐标为(P(x,y))，
   变换后函数图像上对应的点的坐标为(P'(x_1,y_1))；
   则其施行的变换公式为(left{egin{array}{l}{x_1=cfrac{1}{3}x}\{y_1=y}end{array} ight.)，即其逆变换公式为(left{egin{array}{l}{x=3x_1}\{y=y_1}end{array} ight.)，
   将其代入已知的函数解析式，得到(y_1=sin[2(3x_1)-cfrac{pi}{3}])，整理为(y_1=sin(6x_1-cfrac{pi}{3}))，
   变换解释后我们往往就会将下标去掉，得到(y=sin(6x-cfrac{pi}{3}))；
   故我们是用(3x_1)替换的原解析式中的单独的(x)，注意不是替换(2x)这个整体， ↩︎