三角函数公式关系梳理

前言

同角公式

平方关系：(sin^2 heta+cos^2 heta=1)；商数关系：(cfrac{sin heta}{cos heta}=tan heta)；

诱导公式

公式	一[同终边]	二[对称]	三[奇偶性]	四[互补]	五[互余]	六[垂直]
角的大小	(2kpi+alpha)	(pi+alpha)	(-alpha)	(pi-alpha)	(cfrac{pi}{2}-alpha)	(cfrac{pi}{2}+alpha)
正弦=>(sin)	(sinalpha)	(-sinalpha)	(-sinalpha)	(sinalpha)	(cosalpha)	(cosalpha)
余弦=>(cos)	(cosalpha)	(-cosalpha)	(cosalpha)	(-cosalpha)	(sinalpha)	(-sinalpha)
正切=>(tan)	(tanalpha)	(tanalpha)	(-tanalpha)	(-tanalpha)	(diagup)	(diagup)
记忆口诀	函数名不变 符号看象限	函数名不变 符号看象限	函数名不变 符号看象限	函数名不变 符号看象限	函数名改变 符号看象限	函数名改变 符号看象限

和差角公式

$sin(alphapm eta)=sinalphacdot coseta pm cosalphacdot sineta $；

$cos(alphapm eta)=cosalphacdot coseta mp sinalphacdot sineta $；

(tan(alphapm eta)=cfrac{tanalphapm taneta}{1mp tanalphacdot taneta})；

关系梳理

和差角公式是诱导公式的拓展，诱导公式是和差角公式的特例；

举例说明：当(sin(alpha+eta))中涉及到的角比较特殊时，比如(alpha=cfrac{3pi}{2})时，我们走诱导公式这条线比较快捷，即(sin(alpha+eta)=sin(cfrac{3pi}{2}+eta)=-coseta)；

当涉及到的角非常一般时，我们只能走和差角公式这条线，即(sin(alpha+eta)=sinalphacdot coseta+cosalphacdot sineta)；

• 三角形中的三角函数关系，其实质是和差角公式在三角形中的应用；

(sin(A+B)=sin(pi-C)=sinC)，(cos(A+B)=cos(pi-C)=-cosC)，

(sincfrac{A+B}{2}=sin(cfrac{pi}{2}-cfrac{C}{2})=coscfrac{C}{2})，(coscfrac{A+B}{2}=cos(cfrac{pi}{2}-cfrac{C}{2})=sincfrac{C}{2})，

应用注意

互通

由诱导公式我们知道，(sin(cfrac{pi}{2}-alpha)=cosalpha)；

由和差角公式我们知道，以下的使用也是正确的，

(sin(cfrac{pi}{2}-alpha)=sincfrac{pi}{2}cosalpha-coscfrac{pi}{2}sinalpha=cosalpha)；

但是二者学习成本相比，记住诱导公式的结论，非常有必要；

不互通，下列公式中的(alpha)，(eta)，(alpha-eta)都受限，需要( eq kpi+cfrac{pi}{2})；

(tan(alpha-eta)=cfrac{tanalpha-taneta}{1+tanalphacdot taneta})，

所以以下的变形是错误的，应该避免：

(tan(cfrac{pi}{2}-alpha)=cfrac{tancfrac{pi}{2}-tanalpha}{1+tancfrac{pi}{2}cdot tanalpha})

正确的变形应该是用诱导公式：(tan(cfrac{pi}{2}-alpha)=cfrac{1}{tanalpha}=cotalpha)；

典例剖析

例1【2020届宝鸡市质量检测1理科数学第15题】在( riangle ABC)中，(angle ABC=90^{circ})，(AB=4)，(BC=3)，点(D)在线段(AC)上，若(angle BDC=60^{circ})，则(BD)=，(cosangle CBD)=。

分析：由题可知，(sinC=cfrac{4}{5})，(cosC=cfrac{3}{5})，

在( riangle BCD)中，由正弦定理可知，(cfrac{BD}{sinC}=cfrac{3}{sin60^{circ}})，解得(BD=cfrac{8sqrt{3}}{5})；

(cosangle CBD=cos[pi-(angle BDC+angle ACB)]=-cos(angle BDC+angle ACB)=-cos60^{circ}cdot cosangle ACB+)(sin60^{circ}cdot sinangle ACB)(=-cfrac{3}{10}+cfrac{4sqrt{3}}{10}=cfrac{4sqrt{3}-3}{10}).

解后反思：如果利用余弦定理求解(AD)，再用正弦定理求解(sinangle ABD)，利用(cos angle CBD=sinangle ABD)，从而求得(cos angle CBD)，这样的运算会很复杂。这个题目的求解也从另一个角度说明了公式(cos(alpha+eta))存在的必要性。