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  • 二轮辅测|高三文数检测题03[函数与导数02]

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    高三文数二轮专题检测题03讲析[函数与导数02]录制视频

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    题目详解







    难点解析

    例1【2020高三文科二轮专题用题第20题】已知函数(f(x)=cfrac{lnx}{x}+a(x-1))

    (1).若(a=0),求函数(f(x))的极值;

    分析:若(a=0),则函数(f(x)=cfrac{lnx}{x}),定义域为((0,+infty))

    (f'(x)=cfrac{1-lnx}{x^2}),[此时借助分子函数(y=1-lnx)的图像,快速写出如下]

    (xin (0,e))时,(f'(x)>0),则(f(x))单调递增,

    (xin (e,+infty))时,(f'(x)<0),则(f(x))单调递减,

    即函数(f(x))((0,e))上单调递增,在((e,+infty))上单调递减,

    所以函数(f(x))有极大值,极大值为(f(e)=cfrac{1}{e}),没有极小值;

    [备注:此函数的图像使用频度很高,故建议学生理解记忆。如下]

    函数与导数中常用的函数和不等关系

    (2).若在区间((1,+infty))(f(x)<0)恒成立,求(a)的取值范围。

    法1:分离参数+求新函数的最值+洛必达法则[成本较高];

    由题目可知,分离参数得到,(a(x-1)<-cfrac{lnx}{x}),则有(a<-cfrac{lnx}{x(x-1)})

    (g(x)=-cfrac{lnx}{x(x-1)}),需要求(g(x)_{min}),借助导数函数函数(g(x))

    (g'(x)=-cfrac{cfrac{1}{x} imes [x(x-1)]-lnx(2x-1)}{[x(x-1)]^2}=-cfrac{(x-1)-lnx(2x-1)}{[x(x-1)]^2})

    由于数或形的方法思路都不能说明(g'(x))的正负,故引入二阶导,

    (h(x)=(x-1)-lnx(2x-1))(h'(x)=1-[cfrac{1}{x}(2x-1)+lnxcdot 2]=cfrac{1}{x}-2lnx-1)

    显然函数(h'(x))单调递减,又由于(h'(1)=0),故(h'(x)<0)恒成立,

    则函数(h(x))在区间((1,+infty))上单调递减,又(h(1)=0),故(h(x)<0)恒成立,

    (g'(x)=-cfrac{(x-1)-lnx(2x-1)}{[x(x-1)]^2}=-cfrac{h(x)}{[x(x-1)]^2}>0)

    故函数(g(x))单调递增,由于(xin (1,+infty))上,故(g(x)_{min})的极限为(g(1))

    此时要求解(g(1))的值,就需要用到洛必达法则。

    (g(1)=limlimits_{x o 1} g(x)=limlimits_{x o 1}{-cfrac{[lnx]'}{[x(x-1)]'}})

    (=limlimits_{x o 1}{-cfrac{frac{1}{x}}{2x-1}}=-cfrac{1}{2 imes1-1}=-1)

    又由于(xin (1,+infty)),故(aleqslant -1)

    法2:分类讨论[成本较低,但对数学素养要求比较高];

    由于(x>1),故在区间((1,+infty))(f(x)<0)恒成立,即(lnx+ax^2-ax<0)在区间((1,+infty))上恒成立,

    (g(x)=lnx+ax^2-ax),[备注:则需要说明(g(x))的最小值或最小值极限小于零,此时必然需要针对参数(a)分类讨论]

    1).当(ageqslant 0)时,(g(2)=ln2+2a>0),故不符合题意;舍去(ageqslant 0)

    [备注:将最容易说明的情形放到最前面;为了说明不是恒成立,需要找个反例说明,故采用赋值法排除;]

    2).当(a<0)时,(g'(x)=cfrac{1}{x}+2ax-a=cfrac{2ax^2-ax+1}{x})

    (g'(x)=0),则(2ax^2-ax+1=0),由于方程(2ax^2-ax+1=0)的判别式(Delta =a^2-8a>0(a<0)),且两根之积为(cfrac{1}{2a}<0),故方程(g'(x)=0)有两个不等实根,设两根为(x_1,x_2),且(x_1<0<x_2),则正实根(x_2)与定义域的关系如下:

    ①.当(x_2>1)时,函数(g'(x))的分子函数的图像如图所示,

    所以(g(x))在区间((1,x_2))上单调递增,在区间((x_2,+infty))上单调递减,

    (g(x_2)>g(1)=0),则不符合题意;[数学素养:(g(1)=ln1+a imes 1^2-a imes 1=0)]

    ②当(x_2leqslant 1)时,即(g'(1)=2a-a+1leqslant 0),也即(aleqslant -1)时,

    借助导函数的分子图像可知,

    (g(x))((1,+infty))上单调递减,所以当(xin (1,+infty))时,(g(x)<g(1)=0),符合题意;[数学素养:(g(1)=ln1+a imes 1^2-a imes 1=0)]

    综上所述,(aleqslant -1).

    (2).判断函数(f(x))的零点个数。(直接写出结论)

    分析:由题目的要求可知,我们可以自己用自己的方法探索这个题目,不一定是用很严谨的数学语言来推理论证。

    那么我们就完全可以使用数形结合的方法来思考问题。将函数的零点个数问题转化为函数(y=cfrac{lnx}{x})与动态函数(y=a(1-x))的图像的交点个数问题了。

    其中函数(y=cfrac{lnx}{x})的图像可以做出来[也要求要能做出来],函数(y=a(1-x)=-ax+a)的图像是一条直线,恒过点((1.0)),则由动图容易知道,

    (-aleqslant 0)时,两个函数图像有一个交点;

    (-a>0)且在相切以前和相切后,两个函数图像有两个交点;

    当相切时,两个函数图像有一个交点;由于相切时切点为((1,0)),故(-a=cfrac{1-lnx}{x^2}|_{x=1}=1),则(a=-1)

    综上所述,当(ageqslant 0)(a=-1)时,两个函数图像有一个交点;当(a<0)(a eq -1)时,两个函数图像有两个交点;

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