前言
思考探究
分析1:如下图所示,连结(B_1F),(B_1C),为便于分析和求解,令三棱台(AEF-A_1B_1C_1)的体积(V_1),不规则几何体的体积(V_{B_1C_1-BCFE}=V_2),令三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)的高为(h),(S_{ riangle AEF}=s),则(S_{ riangle ABC})(=S_{ riangle A_1B_1C_1})(=4s),
则三棱台(AEF-A_1B_1C_1)的体积(V_1=cfrac{1}{3}(S_{上}+S_{下}+sqrt{S_{上}S_{下}})h)可求解,接下来关键是求解(V_{BC-B_1C_1FE})(=V_2),此时可以分割为四棱锥(B_1-BCFE)和三棱锥(B_1-CC_1F)来考虑求解,而四棱锥的体积(V_{B_1-BCFE})可容易求解,就是三棱锥的体积(V_{B_1-CC_1F})不能有效利用现有的假设条件,造成比值的约分效果,故此思路基本停滞,需要考虑更换思路。
分析2:接上思考,(V_1)可以表达,那么利用现有条件,能不能表达三棱柱的体积(V_{ABC-A_1B_1C_1}),我们发现,这是很容易的,故虽然不能通过组合加的思路求解(V_2),但是可以通过相减的思路求得(V_2),故思路打通,可以考虑组织书写。
求解:如下图所示,为便于分析和求解,令三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)的体积为(V),三棱台(AEF-A_1B_1C_1)的体积为(V_1),不规则几何体的体积为(V_{B_1C_1-BCFE}=V_2),令三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)的高为(h),(S_{ riangle AEF}=s),则(S_{ riangle ABC}=S_{ riangle A_1B_1C_1}=4s),
则由三棱台的体积公式(V_{棱台}=cfrac{1}{3}(S_{上}+S_{下}+sqrt{S_{上}S_{下}})h)可知,
(V_1=V_{AEF-A_1B_1C_1}=cfrac{1}{3}(s+4s+sqrt{scdot 4s})h=cfrac{7}{3}sh),
由三棱柱的体积公式(V_{棱柱}=Scdot h)可知,(V_{ABC-A_1B_1C_1}=V=Scdot h=4sh),
则(V_2=V_{B_1C_1-BCFE}=V-V_1=4sh-cfrac{7}{3}sh=cfrac{5}{3}sh),
故(cfrac{V_1}{V_2}=cfrac{frac{7}{3}sh}{frac{5}{3}sh}=cfrac{7}{5});
解后反思
①熟练记忆各种常用且常见的几何体的体积公式;
②几何体的常用拆分和常用组合;
③加减运算是同一级的,通过加运算不能完成的,能否掉头思考通过减运算来完成;
数学美感
①[加法变减法]斜率公式(k=cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}),那么遇到(cfrac{y+3}{x+2}),就可以联系(cfrac{y+3}{x+2}=cfrac{y-(-3)}{x-(-2)}),
故该表达式可以理解为定点((-2,-3))与动点((x,y))连线的斜率,这样数形结合就完成了;
②[乘法变除法]椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)),那么遇到(3x^2+4y^2=1),就可以改写为(cfrac{x^2}{frac{1}{3}}+cfrac{y^2}{frac{1}{4}}=1),
法1:基向量法,以退为进法;
(|vec{a}+2vec{b}|^2=vec{a}^2+4vec{b}^2+2 imes 2 imes vec{a}cdot vec{b});
(=|vec{a}|^2+4|vec{b}|^2+4|vec{a}|cdot |vec{b}|cdot cos60^{circ});
(=1+16+4 imes 1 imes 2 imes cos60^{circ}=21),
故(|vec{a}+2vec{b}|=sqrt{21})。
(log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})}=cfrac{1}{2}cdot 2 log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})}=cfrac{1}{2}log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})^2}=cfrac{1}{2})
分析:设(5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5}=x),两边同时取对数,
得到(lgx=lg[5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5}]),
即(lgx=lg30cdot lg5+lg0.5cdot lgcfrac{1}{3})
即(lgx =(lg3+1)cdot lg5+(-lg2)cdot (-lg3))
即(lgx=lg3cdot lg5+lg5+lg2cdot lg3)
即(lgx=lg3(lg2+lg5)+lg5)
即(lgx=lg3+lg5=lg15),
即(x=15);
【同思路】求(a^{lnb})的最值,令(a^{lnb}=t),则(lnt=lnbcdot lna);
分析:(|cosalpha-sinalpha|=sqrt{(cosalpha-sinalpha)^2}=sqrt{1-sin2alpha}=sqrt{1-(-cfrac{24}{25})}=cfrac{7}{5}),
又由于(alpha)为第二象限角可知,(cosalpha<0,sinalpha>0),故(cosalpha-sinalpha=-cfrac{7}{5})。
分析:先平方,再开方。(P^2=6+7+2sqrt{42});(Q^2=5+8+2sqrt{40});
由于(P^2>Q^2),(P>0),(Q>0),故(P>Q)
分析:原式=(cfrac{1}{2}cdot cfrac{2sin20^{circ}cdot cos20^{circ}cdot cos40^{circ}cdot cos80^{circ}}{2sin20^{circ}})
(=cfrac{1}{2}cdot cfrac{sin40^{circ}cdot cos40^{circ}cdot cos80^{circ}}{2sin20^{circ}})
(=cfrac{1}{2}cdot cfrac{2cdot sin40^{circ}cdot cos40^{circ}cdot cos80^{circ}}{2cdot 2sin20^{circ}})
(=cfrac{1}{2}cdot cfrac{sin80^{circ}cdot cos80^{circ}}{4sin20^{circ}})
(=cfrac{1}{2}cdot cfrac{sin160^{circ}}{8sin20^{circ}})
(=cfrac{1}{2}cdot cfrac{1}{8}= cfrac{1}{16})。
思路一:我们一般是转化为等比数列求解,这是常规的思路,也是很费时间的思路。
思路二:我们以退为进,由于每天的荷叶生长速度每天是前一天的一倍,第(20)天时,荷叶刚好盖满池塘,那么第(20-1=19)天时,必然刚好盖住池塘的一半。
【同类型】三角形数阵的下一行的第一个,与上一行的最后一个。
相关公式推导
体积公式推导:特殊到一般,祖暅原理;
正方体,六面体,棱柱,棱锥,棱台
面积公式推导: