探究|几何体的体积比

前言

思考探究

案例1如图，三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，若(E)、(F)分别是(AB)，(AC)的中点，平面(EB_1C_1)将三棱柱分成体积为(V_1)，(V_2)的两部分，求(V_1：V_2)的值。

分析1：如下图所示，连结(B_1F)，(B_1C)，为便于分析和求解，令三棱台(AEF-A_1B_1C_1)的体积(V_1)，不规则几何体的体积(V_{B_1C_1-BCFE}=V_2)，令三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)的高为(h)，(S_{ riangle AEF}=s)，则(S_{ riangle ABC})(=S_{ riangle A_1B_1C_1})(=4s)，

则三棱台(AEF-A_1B_1C_1)的体积(V_1=cfrac{1}{3}(S_{上}+S_{下}+sqrt{S_{上}S_{下}})h)可求解，接下来关键是求解(V_{BC-B_1C_1FE})(=V_2)，此时可以分割为四棱锥(B_1-BCFE)和三棱锥(B_1-CC_1F)来考虑求解，而四棱锥的体积(V_{B_1-BCFE})可容易求解，就是三棱锥的体积(V_{B_1-CC_1F})不能有效利用现有的假设条件，造成比值的约分效果，故此思路基本停滞，需要考虑更换思路。

分析2：接上思考，(V_1)可以表达，那么利用现有条件，能不能表达三棱柱的体积(V_{ABC-A_1B_1C_1})，我们发现，这是很容易的，故虽然不能通过组合加的思路求解(V_2)，但是可以通过相减的思路求得(V_2)，故思路打通，可以考虑组织书写。

求解：如下图所示，为便于分析和求解，令三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)的体积为(V)，三棱台(AEF-A_1B_1C_1)的体积为(V_1)，不规则几何体的体积为(V_{B_1C_1-BCFE}=V_2)，令三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)的高为(h)，(S_{ riangle AEF}=s)，则(S_{ riangle ABC}=S_{ riangle A_1B_1C_1}=4s)，

则由三棱台的体积公式(V_{棱台}=cfrac{1}{3}(S_{上}+S_{下}+sqrt{S_{上}S_{下}})h)可知，

(V_1=V_{AEF-A_1B_1C_1}=cfrac{1}{3}(s+4s+sqrt{scdot 4s})h=cfrac{7}{3}sh)，

由三棱柱的体积公式(V_{棱柱}=Scdot h)可知，(V_{ABC-A_1B_1C_1}=V=Scdot h=4sh)，

则(V_2=V_{B_1C_1-BCFE}=V-V_1=4sh-cfrac{7}{3}sh=cfrac{5}{3}sh)，

故(cfrac{V_1}{V_2}=cfrac{frac{7}{3}sh}{frac{5}{3}sh}=cfrac{7}{5})；

解后反思

①熟练记忆各种常用且常见的几何体的体积公式；

②几何体的常用拆分和常用组合；

③加减运算是同一级的，通过加运算不能完成的，能否掉头思考通过减运算来完成；

数学美感

例1【一级运算和二级运算之间的相互转化】

①[加法变减法]斜率公式(k=cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1})，那么遇到(cfrac{y+3}{x+2})，就可以联系(cfrac{y+3}{x+2}=cfrac{y-(-3)}{x-(-2)})，

故该表达式可以理解为定点((-2,-3))与动点((x,y))连线的斜率，这样数形结合就完成了；

②[乘法变除法]椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{x^2}{b^2}=1(a>b>0))，那么遇到(3x^2+4y^2=1)，就可以改写为(cfrac{x^2}{frac{1}{3}}+cfrac{y^2}{frac{1}{4}}=1)，

例2【向量的模的运算】已知(|vec{a}|=1，|vec{b}|=2，<vec{a}，vec{b}>=60^{circ})，求(|vec{a}+2vec{b}|)

法1：基向量法，以退为进法；

(|vec{a}+2vec{b}|^2=vec{a}^2+4vec{b}^2+2 imes 2 imes vec{a}cdot vec{b})；

(=|vec{a}|^2+4|vec{b}|^2+4|vec{a}|cdot |vec{b}|cdot cos60^{circ})；

(=1+16+4 imes 1 imes 2 imes cos60^{circ}=21)，

故(|vec{a}+2vec{b}|=sqrt{21})。

例3【代数式求值】已知(x+x^{-1}=3)，求(x^{frac{1}{2}}+x^{-frac{1}{2}}=sqrt{(x^{frac{1}{2}}+x^{-frac{1}{2}})^2}=sqrt{5})

例4【对数的运算】求值：(log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})})

(log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})}=cfrac{1}{2}cdot 2 log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})}=cfrac{1}{2}log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})^2}=cfrac{1}{2})

例5【对数的运算】求值：(5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5})

分析：设(5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5}=x)，两边同时取对数，

得到(lgx=lg[5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5}])，

即(lgx=lg30cdot lg5+lg0.5cdot lgcfrac{1}{3})

即(lgx =(lg3+1)cdot lg5+(-lg2)cdot (-lg3))

即(lgx=lg3cdot lg5+lg5+lg2cdot lg3)

即(lgx=lg3(lg2+lg5)+lg5)

即(lgx=lg3+lg5=lg15)，

即(x=15)；

【同思路】求(a^{lnb})的最值，令(a^{lnb}=t)，则(lnt=lnbcdot lna)；

例6【三角函数求值】已知(alpha)为第二象限角，且(sin2alpha=-cfrac{24}{25})，求(cosalpha-sinalpha)的值。

分析：(|cosalpha-sinalpha|=sqrt{(cosalpha-sinalpha)^2}=sqrt{1-sin2alpha}=sqrt{1-(-cfrac{24}{25})}=cfrac{7}{5})，

又由于(alpha)为第二象限角可知，(cosalpha<0，sinalpha>0)，故(cosalpha-sinalpha=-cfrac{7}{5})。

例7【不等式大小比较】比较大小：(P=sqrt{6}+sqrt{7})与(Q=sqrt{5}+sqrt{8})

分析：先平方，再开方。(P^2=6+7+2sqrt{42})；(Q^2=5+8+2sqrt{40})；

由于(P^2>Q^2)，(P>0)，(Q>0)，故(P>Q)

例8【三角函数式的化简+二倍角的正弦多次逆用】化简求值：(cos20^{circ}cdot cos40^{circ}cdot cos60^{circ}cdot cos80^{circ})

分析：原式=(cfrac{1}{2}cdot cfrac{2sin20^{circ}cdot cos20^{circ}cdot cos40^{circ}cdot cos80^{circ}}{2sin20^{circ}})

(=cfrac{1}{2}cdot cfrac{sin40^{circ}cdot cos40^{circ}cdot cos80^{circ}}{2sin20^{circ}})

(=cfrac{1}{2}cdot cfrac{2cdot sin40^{circ}cdot cos40^{circ}cdot cos80^{circ}}{2cdot 2sin20^{circ}})

(=cfrac{1}{2}cdot cfrac{sin80^{circ}cdot cos80^{circ}}{4sin20^{circ}})

(=cfrac{1}{2}cdot cfrac{sin160^{circ}}{8sin20^{circ}})

(=cfrac{1}{2}cdot cfrac{1}{8}= cfrac{1}{16})。

例9【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】有一块池塘的荷叶生长速度每天是前一天的一倍，已知第(20)天时，荷叶刚好盖满池塘，问多少天荷叶刚好盖住池塘的一半？

思路一：我们一般是转化为等比数列求解，这是常规的思路，也是很费时间的思路。

思路二：我们以退为进，由于每天的荷叶生长速度每天是前一天的一倍，第(20)天时，荷叶刚好盖满池塘，那么第(20-1=19)天时，必然刚好盖住池塘的一半。

【同类型】三角形数阵的下一行的第一个，与上一行的最后一个。

相关公式推导

体积公式推导：特殊到一般，祖暅原理；

正方体，六面体，棱柱，棱锥，棱台

面积公式推导：