三角形的分类和刻画

前言

三角形分类

按边分类：不等边三角形[三边都不相等]，等腰三角形[有两边相等]，等边三角形[三边都相等]；

按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形；

备忘：记录用向量的内积刻画三角形；

刻画依据

对直角三角形而言，只需要也只能具备一个形式：

内角形式：(A=cfrac{pi}{2})或(B=cfrac{pi}{2})或(C=cfrac{pi}{2})；仅仅只需要一个；

三角函数值的形式：(cos A=0)或(cos B=0)或(cos C=0)；仅仅只需要一个；

边的形式：(b^2+c^2=a^2)或(a^2+c^2=b^2)或(a^2+b^2=c^2)；仅仅只需要一个；

对钝角三角形而言，只需要也只能具备一个形式：

内角形式：(A>cfrac{pi}{2})或(B>cfrac{pi}{2})或(C>cfrac{pi}{2})；仅仅只需要一个；

三角函数值的形式：(cos A<0)或(cos B<0)或(cos C<0)；仅仅只需要一个；

边的形式：(b^2+c^2<a^2)或(a^2+c^2<b^2)或(a^2+b^2<c^2)；仅仅只需要一个；

对锐角三角形而言，必须三个形式同时具备：

内角形式：(0<A<cfrac{pi}{2})且(0<B<cfrac{pi}{2})且(0<C<cfrac{pi}{2})；必须三个形式同时具备；

三角函数值的形式：(cos A>0)且(cos B>0)且(cos C>0)；必须三个形式同时具备；

边的形式：(b^2+c^2>a^2)且(a^2+c^2>b^2)且(a^2+b^2>c^2)；必须三个形式同时具备；

例2在锐角三角形(ABC)中，(C=2B),则(cfrac{c}{b})的取值范围是((sqrt{2}，sqrt{3}))

分析：本题先将(cfrac{c}{b}=cfrac{sinC}{sinB}=2cosB)，

接下来的难点是求(B)的范围，注意列不等式的角度，锐角三角形的三个角都是锐角，要同时限制

由(egin{cases} &0<A<cfrac{pi}{2} \ &0<B<cfrac{pi}{2} \ &0<C<cfrac{pi}{2}end{cases})得到，

(egin{cases} &0<pi-3B<cfrac{pi}{2} \ &0<B<cfrac{pi}{2} \ &0<2B<cfrac{pi}{2}end{cases})

解得(Bin (cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{4}))，故(2cosB in (sqrt{2}，sqrt{3}))。