构造函数的难点和层次

前言

模型层次

• 从所求解的不等式入手，无需变形，直接用“左-右”的形式作差构造得到新函数；

【2017•张家界模拟改编】已知函数(f(x)(xin R))满足(f(1)=1)，且(f(x))的导数(f'(x)<cfrac{1}{2})，则不等式(f(x)<)(cfrac{x}{2})(+cfrac{1}{2})的解集为________.　

分析：作差构造函数，设(F(x)=f(x)-cfrac{1}{2}x-cfrac{1}{2})，则(F'(x)=f'(x)-cfrac{1}{2})，

因为(f'(x)<cfrac{1}{2})，所以(F'(x)=f'(x)-cfrac{1}{2}<0)，即函数(F(x))在(R)上为减函数，

这样原不等式(f(x)<cfrac{x}{2}+cfrac{1}{2})，就等价转化为(F(x)<0)，

又由于(F(1)=f(1)-cfrac{1}{2}-cfrac{1}{2}=0)，[这一步完成了常数的函数化]

故(F(x)<0)可等价转化为(F(x)<F(1))，由于在(R)上为减函数，

故得到(x>1)，即(xin (1，+infty))。

解后反思：①题目中给定的定义域是在求解不等式时限制自变量整体用的；②给定的(f(1)=1)是为了完成常数的函数化准备的；③题目中给定的(f'(x)<cfrac{1}{2})是为了求导判断新函数的单调性准备的；④构造出新函数后，我们需要将原不等式转化为依托于新函数的不等式，若里面包含常数，则将常数函数化为形如(f(M)<(leqslant ，geqslant )f(N))的形式；⑤要去掉对应法则(f)，则需要考虑定义域和单调性；

中阶层次

• 添加难度，使用【换元法】破解；

[对照]【2017•张家界模拟】已知函数(f(x)(xin R))满足(f(1)=1)，且(f(x))的导数(f'(x)<cfrac{1}{2})，则不等式(f(x^2))(<cfrac{x^2}{2})(+cfrac{1}{2})的解集为________.　

分析：和上述题目对比，很显然，(xLeftrightarrow x^2)，

故用类比的方法解得，(x^2>1)，解得(x<-1)或(x>1)；

高阶层次

• 添加难度，使用【换元法+适当变形】破解；

[对照]【2017•张家界模拟改编】已知函数(f(x)(xin R))满足(f(1)=1)，且(f(x))的导数(f'(x)<cfrac{1}{2})，则不等式(f(x^2-1))(<cfrac{x^2}{2})的解集为________.　

分析：比照不等式左端的自变量整体，对不等式的右端，作适当的变形，得到不等式(f(x^2-1))(<cfrac{x^2-1}{2})(+cfrac{1}{2})，

故和上述题目对比，很显然，(xLeftrightarrow x^2-1)，

故用类比的方法解得，(x^2-1>1)，解得(x<-sqrt{2})或(x>sqrt{2})；

【2020•高三定时训练模拟改编】定义在(R)上的函数(f(x))的导函数为(f'(x))，若对于任意实数(x)，有(f(x))(>)(f'(x))，且(f(x)+2019)为奇函数，则不等式(f(x)+2019cdot e^x<0)的解集为【(quad)】

$A.(-infty,0)$ $B.(0,+infty)$ $C.(-infty,cfrac{1}{e})$ $D.(cfrac{1}{e},+infty)$

[分析]：本题目(Leftarrow) (f(x)+2019cdot e^x<0)，往往需要对此不等式作相应的变形，

那么如何变形，需要考虑你准备构造的函数，如何构造函数，注意到(f(x))(>)(f'(x))，

故构造(g(x)=cfrac{f(x)}{e^x})，[此处需要一定的数学素养积累，比如构造函数]，则(g'(x)=cfrac{f'(x)-f(x)}{e^x})，

这样就能利用(f(x))(>)(f'(x))，判断构造的新函数的单调性和定义域；

到此，我们就可以依托所构造的函数，将 (f(x)+2019cdot e^x<0)作相应的变形，两边同除以(e^x)，

得到(cfrac{f(x)}{e^x}+2019<0)，即(cfrac{f(x)}{e^x}<-2019)，即(g(x)<-2019)，接下来

我们需要将上述不等式的右端的常数函数化，即转化为(g(?))，

那么如何转化呢，利用(f(x)+2019)为奇函数，则(f(0)+2019=0)，

即(f(0)=-2019)，故(g(0)=-2019)，则到此(g(x)<-2019)转化为，(g(x)<g(0))，

接下来，利用定义域和单调性就可以求解了。

[解析]：构造(g(x)=cfrac{f(x)}{e^x})，则(g'(x)=cfrac{f'(x)-f(x)}{e^x})，

由于对任意实数(x)都有(f(x)>f'(x))，则(g'(x)<0)，所以(g(x))在(R)上单调递减，

因为(f(x)+2019)为奇函数，所以(f(0)+2019=0)，即(f(0)=-2019)，故(g(0)=-2019)，

题目给定不等式，(f(x)+2019e^x<0)可以变形为(cfrac{f(x)}{e^x}+2019<0)，即(cfrac{f(x)}{e^x}<-2019)，

即(g(x)<g(0))，又由于(g(x))在(R)上单调递减，故(x>0)，故选(B).

【2021•高三文数三轮模拟用题】已知定义在(R)上的函数 (f(x)) 的导函数为 (f'(x))，若对于任意实数 (xin R)，都有 (f(x))(+)(f'(x))(>0) ，则关于 (x) 的不等式 (e^{x+1})(cdot)(f(2x-1))(-)(f(x-2))(>0) 的解集为_____________.

解析： 令 (g(x)=e^xcdot f(x))，则 (g'(x)=e^x[f'(x)+f(x)]>0) ，故函数 (g(x)) 在 (R) 上单调递增，

则所求的抽象不等式 (e^{x+1})(cdot)(f(2x-1))(-)(f(x-2))(>0)由于(e^{x+1})(=)(e^{(2x-1)-(x-2)})(=)(cfrac{e^{2x-1}}{e^{x-2}})，则(e^{x+1})(cdot)(f(2x-1))(-)(f(x-2))(>0) (Leftrightarrow) (cfrac{e^{2x-1}}{e^{x-2}}f(2x-1))(-)(f(x-2))(>0) (Leftrightarrow) (e^{2x-1})(cdot)(f(2x-1))(>)(e^{x-2})(cdot)(f(x-2))(quad) 可等价转化为

(e^{2x-1}cdot f(2x-1)>e^{x-2}cdot f(x-2))，即(g(2x-1)>g(x-2))，

由于 (g(x)) 在 (R) 上单调递增，故有 (2x-1>x-2)，

解得 (x>-1)，故所求解集为 ((-1,+infty)).

• 添加难度，使用【不等式性质+适当变形】破解；

【2020年全国卷Ⅱ卷理数第11题文数第12题】若(2^x-2^{y}<3^{-x}-3^{-y})，则【(quad)】

$A.ln (y-x+1)>0$ $B.ln (y-x+1)<0$ $C.ln|x-y|>0$ $D.ln|x-y|<0$

分析：要顺利解答本题目，需要先将原不等式作等价转化，(2^x-3^{-x}<2^{y}-3^{-y})，

这样我们就能看到上述不等式的两端，是同结构的，故想到构造函数，

解析：令(f(t)=2^t-3^{-t})，则(tin R)，且(f(t))在(tin R)上单调递增(y)(=)(2^t)为增函数，(y)(=)(-3^{-t})为增函数，增+增=增，故(f(t))(=)(2^t)(-)(3^{-t})为增函数。单调性的给出方式，

故原不等式等价于(f(x)<f(y))，由(f(t))单调递增，得到(x<y)，

故(y-x>0)，(y-x+1>1)，则(ln(y-x+1)>0)；故选(A)；

【2020年新课标Ⅰ理科数学第(12)题】【上例的延申题】 若 (2^{a}+log_{2}a=4^{b}+2log_{4}b)， 则 【(quad)】

$A.a > 2b$ $B.a < 2b$ $C.a > b^2$ $D.a < b^2$

解析：因为 (2^{a}+log _{2} a=4^{b}+2 log _{4} b=2^{2 b}+log _{2}b)，

又由于 (2^{2b}+log_{2}b<2^{2b}+log_{2}2b=2^{2b}+log_{2}b+1)，

故 (2^{a}+log_{2}a<2^{2b}+log_{2}2b)，

此时令 (f(x)=2^{x}+log_{2}x)， 则上述条件变化为 (f(a)<f(2b))这样就能利用新构造的函数的性质比较大小，此时主要用到定义域和单调性。(quad)，

由指对数函数的单调性可得 (f(x)) 在 ((0,+infty)) 内单调递增，且 (f(a)<f(2b))，

则得到 (a<2b)，故选：(B) .

博友提问

对于函数 (f(x)+f(y)=2f(cfrac{x+y}{2})f(cfrac{x-y}{2})) ，为什么要构造余弦函数？

解析：设 (left{egin{array}{l}frac{x+y}{2}=m\frac{x-y}{2}=nend{array} ight.) ，解得 (left{egin{array}{l}x=m+n\y=m-nend{array} ight.)

代入已知，得到 (f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n))

比照公式，(cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)=2cosalphacoseta)，

故要构造 (f(x)=cos x).