三角方程的解法

前言

• 首先必须明确，解三角方程，应该属于解超越方程，和解代数方程的思路不一样了，应该数形结合求解；

• 解三角方程的方法和思路基本上和解三角不等式是并行的，可以类比进行；

必备技能

• 函数图像的解读能力

• 作三角函数(y=sinx)和(y=cosx)的图像、作正弦线、余弦线的能力

• 用不等式表达单位圆中区域的能力

例说解法

解三角方程： (2sinA=1，A)为三角形的一个内角。

解析：由题可知，(sin A=cfrac{1}{2})，做出函数(y=cfrac{1}{2})和函数(y=sin A)在其定义域((0,pi))上的图像，

如图所示，对应的自变量(A=cfrac{pi}{6})或(A=cfrac{5pi}{6})

故方程的根：(A=cfrac{pi}{6})或(A=cfrac{5pi}{6})

解三角方程： (2sinA=1).

解析：由题可知，(sin A=cfrac{1}{2})，由于函数(y=sin A)有周期性，

选([0,2pi])为一个基本周期，做出函数(y=cfrac{1}{2})和函数(y=sin A)在其定义域((0,2pi))上的图像，

如图所示，对应的自变量(A=cfrac{pi}{6})或(A=cfrac{5pi}{6})

再拓展到(R)，得到方程的根：(A=2kpi+cfrac{pi}{6})或(A=2kpi+cfrac{5pi}{6}(kin Z))。

类比思考

解三角方程： (2sin(3A+cfrac{pi}{4})=1).

提示：(3A+cfrac{pi}{4}=2kpi+cfrac{pi}{6})或(3A+cfrac{pi}{4}=2kpi+cfrac{5pi}{6}(kin Z))，求解(A)即可。

【2016(cdot)上海卷】【解三角方程】方程(3sinx=1+cos2x)在区间([0，2pi])上的解为_______________。

分析：采用升幂降角公式，得到(3sinx=1+1-2sin^2x)，

整理为(2sin^2x+3sinx-2=0)，即((sinx+2)(2sinx-1)=0)

解得(sinx=-2)(舍去)，或(sinx=cfrac{1}{2})，

再由(sinx=cfrac{1}{2})，(xin[0，2pi])，

采用图像可得，(x=cfrac{pi}{6})或(x=cfrac{5pi}{6})。

典例剖析

【2020·北京西城模拟摘编】函数(f(x)=cos(pi x+phi)(0<phi<cfrac{pi}{2}))的部分图像如图所示.

(1).写出(phi)及图中(x_0)的值；

解：由于图像经过点((0,cfrac{sqrt{3}}{2}))，故满足(cosphi=cfrac{sqrt{3}}{2})，

又由于(0<phi<cfrac{pi}{2})，故(phi=cfrac{pi}{6})，

又由图可知，(cos(pi x_0+cfrac{pi}{6})=cfrac{sqrt{3}}{2})，

此处注意，以(pi x_0+cfrac{pi}{6})这个整体为横轴作函数图像，取([-pi,pi])为一个基本周期，

很显然，在一个基本周期内的三角方程的解为(pi x_0+cfrac{pi}{6}=-cfrac{pi}{6})，或(pi x_0+cfrac{pi}{6}=cfrac{pi}{6})，

那么在整个实数范围内，(pi x_0+cfrac{pi}{6}=2kpi-cfrac{pi}{6})，或(pi x_0+cfrac{pi}{6}=2kpi+cfrac{pi}{6})，(kin Z)，

解得 (x_0=2k) 或 (x_0=-cfrac{1}{3}+2k)，(kin Z)，

由于函数(f(x)=cos(pi x+cfrac{pi}{6}))的最小正周期为(2)，故结合图像舍去(x_0=2k)，

故(x_0=-cfrac{1}{3}+2k)，(kin Z)，令(k=1)，则(x_0=cfrac{5}{3}).

【2019 (cdot) 张家界模拟】将函数 (f(x)=sqrt{3}sin2x-cos2x) 的图像向左平移 (t(t>0)) 个单位后，得到函数 (g(x)) 的图象，若$ g(x)=g(cfrac{pi}{12}-x)$， 则实数 (t) 的最小值为 【(quad)】

$A.cfrac{5pi}{24}$ $B.cfrac{7pi}{24}$ $C.cfrac{5pi}{12}$ $D.cfrac{7pi}{12}$

法1：由题意得，(f(x)=sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin(2x-cfrac{pi}{6}))，

则 (g(x)=2sin[2(x+t)-cfrac{pi}{6}]=2sin(2x+2t-cfrac{pi}{6}))，

又由题意得， (g(x)=g(cfrac{pi}{12}-x))， 则变换得到下式，

则 (2sin(2x+2t-cfrac{pi}{6})=2sin[2(cfrac{pi}{12}-x)+2t-cfrac{pi}{6}]=-2sin(2x-2t))

即(sin(2x+2t-cfrac{pi}{6})=-sin(2x-2t))，

故有(2x+2t-cfrac{pi}{6}=2x-2t+(2k+1)pi)，(kin )，

即(4t=(2k+1)pi+cfrac{pi}{6})，(kin )，

又由于(t>0)，故当(k=0)时，(t_{min}=cfrac{7pi}{24})，故选(B).

对以上的三角方程作以抽象，即可得到三角方程的最简模型：

由(sin(2x+ heta))(=)(sin(2x-2 heta+t))从数的角度刻画为(sin(2x+ heta))(=)(sin(2x-2 heta+t))，而从形的角度可以刻画为两个函数的图像完全重合；(quad)，可以得到(2x+ heta=2x-2 heta+t+2kpi)，(kin )；

由(sin(2x+ heta))(=)(-sin(2x-2 heta+t))从数的角度刻画为(sin(2x+ heta))(=)(-sin(2x-2 heta+t))，而从形的角度可以刻画为两个函数的图像关于(x)轴对称；(quad)，可以得到(2x+ heta=2x-2 heta+t+(2k+1)pi)，(kin )；

法2：由题意得，(f(x)=sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin(2x-cfrac{pi}{6}))，

则 (g(x)=2sin[2(x+t)-cfrac{pi}{6}]=2sin(2x+2t-cfrac{pi}{6}))，

又由题意得， (g(x)=g(cfrac{pi}{12}-x))， 即(x=cfrac{pi}{24})为函数(g(x))的对称轴，

即(x=cfrac{pi}{24})能使得函数(g(x))的值取到最值；

故(2 imescfrac{pi}{24}+2t-cfrac{pi}{6}=kpi+cfrac{pi}{2})，(kin )；

整理为(t=cfrac{kt}{2}+cfrac{7pi}{24})，(kin )；

又由于(t>0)，故当(k=0)时，(t_{min}=cfrac{7pi}{24})，故选(B).

若(cos A=sin B)，且(A)、(B)为锐角， 故(A+B=cfrac{pi}{2})，

分析：如图所示，角(A)、(B)关于直线(x=cfrac{pi}{4})对称，

故(A+B=cfrac{pi}{2})，

若(cos A=sin B)诱导公式:(sin(cfrac{pi}{2}+ heta))(=)(cos heta)(quad)，(B) 为钝角， 故(B=A+cfrac{pi}{2})，

分析：如图所示，角(A)、(B)相差(cfrac{pi}{2})，

故(B=A+cfrac{pi}{2})，