三角函数图像平移后重合对称

前言

以下是正弦型函数(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{3}))的平移效果图像，可以自己体会一番；

动手体验，反思总结：

①.将周期函数的图像平移后，若所得图像与原图像重合，则平移长度必然等于周期(T)的整数倍(k(kin ))，或者平移前后的自变量整体差值为周期(T)的整数倍(k(kin ))；

将(y=sin(omega x+cfrac{pi}{4}))，向左平移(cfrac{pi}{3})个单位，所得图像与原图像重合，求正整数(omega)的最小值；

思路1：由平移长度必然等于周期的整数倍得到，(cfrac{pi}{3}=kcdot cfrac{2pi}{omega})，((kin ))；

整理得到(omega=6k(omega >0))，故(omega_{min}=6)；

思路2：由平移前后的自变量整体差值为(kcdot 2pi(kin ))得到，

即(omega(x+cfrac{pi}{3})+cfrac{pi}{4}=omega x+cfrac{pi}{4}+2kpi)，((kin ))；

整理得到(omega=6k(omega>0))，故(omega_{min}=6)；

②.将周期函数的图像平移后，若所得图像与原图像对称轴重合，则平移长度必然等于半周期(cfrac{T}{2})的整数倍(k(kin ))，或者平移前后的自变量整体差值为半周期(cfrac{T}{2})的整数倍(k(kin ))；

典例剖析

【图像移动后和原图像对称轴重合】【2017•临沂模拟】将函数(y=2sin(omega x-cfrac{pi}{4})(omega >0))的图象分别向左、向右各平移(cfrac{pi}{4})个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则(omega)的最小值为________．

法1：将函数(y=2sin(omega x-cfrac{pi}{4})(omega >0))的图象向左平移(cfrac{pi}{4})个单位长度后，

得到(y=2sin[omega (x+cfrac{pi}{4})-cfrac{pi}{4}]=2sin(omega x+cfrac{(omega-1)pi}{4}))；

将函数(y=2sin(omega x-cfrac{pi}{4})(omega >0))的图象向右平移(cfrac{pi}{4})个单位长度后，

得到(y=2sin[omega (x-cfrac{pi}{4})-cfrac{pi}{4}]=2sin(omega x-cfrac{(omega+1)pi}{4}))；

由于平移后的对称轴重合，故自变量的整体差值为(kpi)将两个自变量都视为整体，则其(T=2pi)，半周期为(pi)，故其差值为(kpi)。(quad)，

故(omega x+cfrac{(omega-1)pi}{4}=omega x-cfrac{(omega+1)pi}{4}+kpi(kin ))；

化简得到(omega=2k(kin ))，又(omega>0)， 故(omega_{min}=2)。

法2：将函数(y=2sin(omega x-cfrac{pi}{4})(omega >0))的图象向左平移(cfrac{pi}{4})个单位长度后，

由于周期的作用，其实平移的长度是(cfrac{piomega}{4})；

将函数(y=2sin(omega x-cfrac{pi}{4})(omega >0))的图象向右平移(cfrac{pi}{4})个单位长度后，

由于周期的作用，其实平移的长度也是(cfrac{piomega}{4})；

这样的平移效果，相当于视原图像不动，再将其图像一次平移距离为(cfrac{2piomega}{4})；

由于平移后两个函数的对称轴重合，故平移距离应该是半周期的整数倍，即(kpi)，即(cfrac{2piomega}{4}=kpi)，

化简得到(omega=2k(kin Z))，又(omega>0)，故(omega_{min}=2)。

【2019 (cdot) 张家界模拟】将函数 (f(x)=sqrt{3}sin2x-cos2x) 的图像向左平移 (t(t>0)) 个单位后，得到函数 (g(x)) 的图象，若$ g(x)=g(cfrac{pi}{12}-x)$， 则实数 (t) 的最小值为 【(quad)】

$A.cfrac{5pi}{24}$ $B.cfrac{7pi}{24}$ $C.cfrac{5pi}{12}$ $D.cfrac{7pi}{12}$

法1：由题意得，(f(x)=sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin(2x-cfrac{pi}{6}))，

则 (g(x)=2sin[2(x+t)-cfrac{pi}{6}]=2sin(2x+2t-cfrac{pi}{6}))，

又由题意得， (g(x)=g(cfrac{pi}{12}-x))， 则变换得到下式，

则 (2sin(2x+2t-cfrac{pi}{6})=2sin[2(cfrac{pi}{12}-x)+2t-cfrac{pi}{6}]=-2sin(2x-2t))

即(sin(2x+2t-cfrac{pi}{6})=-sin(2x-2t))，

故有(2x+2t-cfrac{pi}{6}=2x-2t+(2k+1)pi)，(kin )，

即(4t=(2k+1)pi+cfrac{pi}{6})，(kin )，

又由于(t>0)，故当(k=0)时，(t_{min}=cfrac{7pi}{24})，故选(B).

对以上的三角方程作以抽象，即可得到三角方程的最简模型：

由(sin(2x+ heta))(=)(sin(2x-2 heta+t))从数的角度刻画为(sin(2x+ heta))(=)(sin(2x-2 heta+t))，而从形的角度可以刻画为两个函数的图像完全重合；(quad)，可以得到(2x+ heta=2x-2 heta+t+2kpi)，(kin )；

由(sin(2x+ heta))(=)(-sin(2x-2 heta+t))从数的角度刻画为(sin(2x+ heta))(=)(-sin(2x-2 heta+t))，而从形的角度可以刻画为两个函数的图像关于(x)轴对称；或者两个函数图像的对称轴重合；(quad)，可以得到(2x+ heta=2x-2 heta+t+(2k+1)pi)，(kin )；

法2：由题意得，(f(x)=sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin(2x-cfrac{pi}{6}))，

则 (g(x)=2sin[2(x+t)-cfrac{pi}{6}]=2sin(2x+2t-cfrac{pi}{6}))，

又由题意得， (g(x)=g(cfrac{pi}{12}-x))， 即(x=cfrac{pi}{24})为函数(g(x))的对称轴，

即(x=cfrac{pi}{24})能使得函数(g(x))的值取到最值；

故(2 imescfrac{pi}{24}+2t-cfrac{pi}{6}=kpi+cfrac{pi}{2})，(kin )；

整理为(t=cfrac{kt}{2}+cfrac{7pi}{24})，(kin )；

又由于(t>0)，故当(k=0)时，(t_{min}=cfrac{7pi}{24})，故选(B).

等价刻画

为控制难度，便于理解，暂时只涉及正(余)弦型，正切型可以类比分析；

①当周期函数的图像平移前和平移后，图像完全重合，则平移的距离一定是周期(T)的整数倍(k(kin ))；

②当周期函数的图像平移的距离是周期(T)的整数倍(k(kin ))时，则其图像必然完全重合，或者所有性质都相同；

③当周期函数的图像平移前和平移后，函数的单调性完全相同，则平移的距离一定是周期(T)的整数倍(k(kin ))；

④当周期函数的图像平移前和平移后，图像的对称轴完全重合，则平移的距离一定是半周期(frac{T}{2})的整数倍(k(kin ))；

⑤当周期函数的图像平移前和平移后，两个图像关于(x)轴对称，则平移的距离一定是半周期(frac{T}{2})的整数倍(k(kin ))；

⑥当周期函数的图像平移前和平移后，函数的单调性完全相反，则平移的距离一定是半周期(frac{T}{2})的整数倍(k(kin ))；