曲线的方程与方程的曲线

前言

曲线的方程与方程的曲线，是一对孪生概念，其学习理解有一定的难度。

回顾铺垫

通过初中的学习，我们已经知道，在平面直角坐标系中，曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹。比如：

① 角平分线：是平面内到角的两边距离相等的点的集合；

② 线段的中垂线：是平面内到线段的两个端点的距离相等的点的集合；

③ 圆：是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹或点的集合；

当我们引入了平面直角坐标系后，为了更好的表述刻画和研究问题，我们需要给出曲线和方程的概念，因为她们之间有一定的对应关系：

抽象概括

在平面直角坐标系中，如果某曲线 (C) 上的点与一个二元方程 (f(x, y)=0) 的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线 (C) 上的点的坐标都是方程 (f(x, y)=0) 的解；

(2)以方程 (f(x, y)=0) 的解为坐标的点都在曲线 (C) 上。

那么，方程 (f(x, y)=0) 叫作曲线 (C) 的方程，曲线 (C) 叫作方程 (f(x, y)=0) 的曲线。

反思总结：曲线的方程是对曲线从数的角度的再刻画，方程的曲线是对方程从形的角度的再刻画，属于一个问题的数和形两个方面，只有都透彻理解，才能更好的应用于解题和数学素材的理解。

案例：以圆心在坐标原点，半径为 (2) 的圆 (odot O) 为例，加以说明；

先给出如下的圆的图形，我们通过坐标法可以得到曲线圆 (odot O) 的方程为 (x^2+y^2=4)，详细的求解过程如下：

用坐标法求以圆心在坐标原点，半径为 (2) 的圆 (odot O) 的轨迹方程：

① 建系：以它的圆心为原点、互相垂直的两条半径所在的直线 为 (x) 轴和 (y) 轴建立如图所示的平面直角坐标系；

② 设点：在圆上任意选取一点 (M(x, y)),

③ 列关系式：根据圆的定义可知 : (|OM|=2)，

④ 化简结果：由平面内任意两点间的距离公式可知，(sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=2)，即

[x^2+y^2=4, ]

由此可见[复盘上述的求解过程，另外取一个点也是这样]，以原点为圆心 、以 (2) 为半径的圆上的点的坐标都是方程 (x^{2}+y^{2}=4) 的解.

⑤ 检验或证明：反之，设 (x_{1}, y_{1}) 是方程 (x^{2}+y^{2}=4) 的任意一组解，

则有 (x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=4)，即(sqrt{(x_{1}-0)^{2}+(y_{1}-0)^{2}}=2)，

这表明以 ((x_{1}, y_{1})) 为坐标的点到原点的距离等于 (2)，

即这个点在以原点为圆心、(2)为半径的圆上。

这样，我们就可以用 (x^{2}+y^{2}=4) 来表示以原点为圆心、 (2) 为半径的圆。

到此，我们才可知上述的数的形式和形的形式有对应性，故我们称 (x^{2}+y^{2}=4) 是以原点为圆心、(2) 为半径的圆的方程。

反例廓清

由于上述的典例太过经典，太过严谨，结果容易在认知上给我们造成一个误区，就是随便一个变形，我们就能得到曲线的方程，这是错误的；举例如下：

比如，直线 (AB) 的方程为 (x^2-y^2=0)，这就是错误的，原因是直线 (AB) 上的所有点都满足方程 (x^2-y^2=0)[这个称作直线上的点具备纯粹性]，而以方程的任意一组解(x_1) ，(y_1) 为坐标的点 ((x_1,y_1)) ，不全都在直线 (AB) 上，比如点 ((3,-3)) 就不在直线 (AB)上，而是在直线 (CD) 上[这个称作方程的解不具备完备性]，故是错误的，但是如果说 直线 (AB) 的方程为 (x-y=0)，就是正确的，原因是 直线 (AB) 上的点具备纯粹性，且方程 (x-y=0) 的解具备完备性，故是正确的。

起底错因

但是，我们在数学变形中，容易出现不恒等变形，故容易造成错误。

比如，给定方程：(y=sqrt{1-x^2})，两边平方，得到(y^2=1-x^2)，

整理得到 (x^2+y^2=1)，即方程的曲线是单位圆，这就是错误的，

原因是 (x) 轴下方的图形上的点不满足方程，故错误；

如何修正呢？由(y=sqrt{1-x^2})，得到 (ygeqslant 0)，

故方程(y=sqrt{1-x^2})的曲线应该是 (x) 轴上方的单位圆，

或者说方程的等价变形形式为 (x^2+y^2=1)，((ygeqslant 0)).

典例剖析

• 求轨迹方程的题目，其实质就是求曲线对应的方程，其易错点就在变形的不等价性，故需要特别注意检验或者验证。

在边长为 (2) 的正 ( riangle ABC) 中，若 (P) 为 ( riangle ABC) 内一点，且 (|PA|^{2}=|PB|^{2}+|PC|^{2})，求点 (P) 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线。

分析：本题目是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化间技能、技巧等。解答需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线。

解析：以 (BC) 所在直线为 (x) 轴，(BC) 的中点为原点，(BC) 的中垂线为 (y) 轴建立平面直角坐标系，

设 (P(x, y)) 是轨迹上任意一点, 又 (|BC|=2)， 故有 (B(-1,0))， (C(1,0))， 则(A(0,sqrt{3}))，

由于 (|PA|^{2}=|PB|^{2}+|PC|^{2})，

即 (x^{2}+(y-sqrt{3})^{2}=(x+1)^{2}+y^{2}+(x-1)^{2}+y^{2})，

化简得到， (x^{2}+(y+sqrt{3})^{2}=4)，

又由于点 (P) 在 ( riangle ABC) 内， 所以 (y>0)，

所以， (P) 点的轨迹方程为 (x^{2}+(y+sqrt{3})^{2}=4(y>0)).

其轨迹如图所示，为以 ((0,-sqrt{3})) 为圆心，半径为 (2) 的圆在 (x) 轴上方的圆弧.