不等式证明中的断想
例1:有一道题目,(a,b>0),让判断下列不等式是不是恒成立,其中有一个不等式是(a^3+b^3 ge 2ab^2)
【分析】(a^3+b^3 ge 2ab^2Longleftrightarrow a^3-ab^2+b^3-ab^2ge 0Longleftrightarrow(a-b)(a^2+ab-b^2)ge 0)
当(a>b>0)时,(a^2-b^2+ab>0)显然成立,
当(0<a<b)时,(a-b<0),故关键是证明代数式((a^2+ab-b^2))的正负,
考虑到(a,b>0),((a^2+ab-b^2))的正负(Longleftrightarrow cfrac{a^2+ab-b^2}{b^2})的正负。
可以令(cfrac{a}{b}=x),再改为判断(x^2+x-1)的正负,
从而可以利用(f(x)=x^2+x-1)函数的图像来判断,
从图像可以看出,代数式(x^2+x-1)的可正、可负、可零;
故((a^2+ab-b^2))可正、可负、可零;原不等式不是恒成立。
【引申】判断不等式(a^3+b^3ge ab^2+a^2b)是不是恒成立。
(a^3+b^3ge ab^2+a^2bLongleftrightarrow (a-b)(a^2-b^2)ge 0)
当(a,b>0)时,恒成立;
当(a,bin R)时,不恒成立;
例2:当(a>b>0)时,(a^3+b^3>2a^2b)恒成立,是假命题。
【法1】:赋值法,令(a=3),(b=2);
则(a^3+b^3=27+8=35),(2a^2b=36),故不成立;
【法2】:作差法,
(a^3+b^3-2a^2b=(a^3-a^2b)+(b^3-a^2b))
(=a^2(a-b)-b(a^2-b^2)=(a-b)(a^2-ab-b^2))
(=(a-b)cdot b^2cdot [cfrac{a^2}{b^2}-cfrac{ab}{b^2}-cfrac{b^2}{b^2}])
(=(a-b)cdot b^2cdot [(cfrac{a}{b})^2-cfrac{a}{b}-1])
令(cfrac{a}{b}=t>1),令(g(t)=t^2-t-1=(t-cfrac{1}{2})^2-cfrac{5}{4}(t>1))
令(g(t)=0),解得(t=cfrac{1pmsqrt{5}}{2}),开口向上,
即当(tin (1,cfrac{1+sqrt{5}}{2}))时,(g(t)<0),
当(t=cfrac{1+sqrt{5}}{2})时,(g(t)=0),
当(t>cfrac{1+sqrt{5}}{2})时,(g(t)>0),
即当(t>1)时,(g(t))的值可负,可零,可正,
故(a^2-ab-b^2>0)不能恒成立,故当(a>b>0)时,(a^3+b^3>2a^2b)不恒成立。
【法3】均值不等式,?
【法4】导数法,?