二次函数习题

典例剖析

已知二次函数(f(x)=ax^2+bx(a,bin R,a eq 0))，满足条件(f(x-1)=f(3-x))，且方程(f(x)=2x)有两个相等实数根，

(1)求(f(x))的解析式；

(2)求(f(x))在([0，t])上的最大值。

解析：(1)属于求解析式问题。由(f(x-1)=f(3-x))可知，函数(f(x))的对称轴为(-dfrac{b}{2a}=1)，又方程(ax^2+bx-2x=0)有两个相等实数根，故(Delta=(b-2)^2=0)，联立两式解得(a=-1,b=2)，则函数(f(x)=-x^2+2x);

(2)到此，问题转化为二次函数在动区间上的最值问题了，往往需要数形结合解决题目。(f(x)=-(x-1)^2+1)，对称轴是直线(x=1)，自变量(xin [0，t])，

当(0leq tleq 1)时，(f(x))在区间([0，t])上单调递增，故(f(x)_{max}=f(t)=-t^2+2t)；

当(t>1)时，(f(x))在区间([0，1])上单调递增，在区间([1，t])上单调递减，故(f(x)_{max}=f(1)=1)；

故(f(x)_{max}=egin{cases}-t^2+2t,&0leq tleq 1\1,&t>1 end{cases}).请看对应的课件

已知二次函数(f(x)=x^2+2ax+3)在区间([-4，6])上是单调函数，求实数(a)的值。

法1：利用二次函数数形结合，函数图像开口向上，对称轴是(x=-a)，故当(-aleq -4)或(-age 6)时，函数分别是单调递增和单调递减函数，解得(aleq -6)或者(age 4)。

法2：导数法，(f'(x)=2x+2a)，由函数在区间([-4，6])上是单调函数，

当为单调递增函数，可得(f'(x)ge 0)恒成立，即(2age -2x)在区间([-4，6])上恒成立，故(2age (-2x)_{max}=-2 imes(-4)=4) ，解得(age 4)

当为单调递减函数，可得(f'(x)leq 0)恒成立，即(2aleq -2x)在区间([-4，6])上恒成立，故(2age (-2x)_{min}=-2 imes6=-12) ，解得(aleq -6)

法3：正难则反，否定之否定。由开口向上的抛物线的图像可知对称轴在区间内部时，函数不是单调函数，即(-4< -a <6)时不是单调函数，即(-6<a<4)；故取其补集，当(aleq -6)或者(age 4)时，函数是单调函数。

已知二次函数(f(x))满足(f(2)=-1)，(f(-1)=-1)，且(f(x))的最大值是(8)，试确定此二次函数的解析式。

法1：一般式，设(f(x)=ax^2+bx+c(a eq 0))，

由题意得(egin{cases}4a+2b+c=-1\a-b+c=-1\ cfrac{4ac-b^2}{4a}=8end{cases})，解得(egin{cases}a=-4\b=4\c=7end{cases})，

故(f(x)=-4x^2+4x+7)。

法2：顶点式，设(f(x)=a(x-m)^2+n)，由题意得(n=8)，

又(f(2)=f(-1))，故函数的对称轴是(x=cfrac{2+(-1)}{2}=cfrac{1}{2})，故(m=cfrac{1}{2})。

则(y=f(x)=a(x-cfrac{1}{2})^2+8)，又(f(2)=-1)，(a(2-cfrac{1}{2})^2+8=-1)，

解得(a=-4)，故(f(x)=-4x^2+4x+7)。

法3：两根式(零点式)，由已知(f(x)+1=0)的两根(x_1=2)，(x_2=-1)，

故可设(f(x)+1=a(x+1)(x-2))，

即(f(x)=ax^2-ax-2a-1)，又函数(f(x)_{max}=8)，即(cfrac{4a(-2a-1)-a^2}{4a}=8)，

解得(a=-4)或(a=0(舍去))，故(f(x)=-4x^2+4x+7)。

【定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间图像】动态图像演示

1、定轴定区间，(f(x)=x^2-3x-2(-2leq xleq 4))

2、定轴动区间，$f(x)=x^2-2x+1(aleq xleq a+2)$ 3、动轴定区间，$f(x)=x^2-2bx+1(1leq xleq 3)$

【2019届高三理科数学资料用题】已知函数(f(x)=x^2-2(a+2)x+a^2)，(g(x)=-x^2+2(a-2)x) (-a^2+8)，设(H_1(x)=max{f(x)，g(x)})，(H_2(x)=min{f(x)，g(x)})，(说明：(max{p，q})表示(p，q)中的较大者，(min{p，q})表示(p，q)中的较小者)。记(H_1(x))的最小值为(A)，(H_2(x))的最大值为(B)，求(A-B)等于【 】

$A.16$ $B.-16$ $C.a^2-2a-16$ $D.a^2+2a-16$

分析：本题目要求对二次函数的图像和性质必须非常熟悉，

(f(x)=x^2-2(a+2)x+a^2=[x-(a+2)]^2+a^2-(a+2)^2)，对称轴为(x=a+2)

(g(x)=-x^2+2(a-2)x-a^2+8=-[x-(a-2)]^2-a^2+8+(a-2)^2)，对称轴为(x=a-2)

联立(left{egin{array}{l}{y=x^2-2(a+2)x+a^2}\{y=-x^2+2(a-2)x-a^2+8}end{array} ight.)

消掉(y)，得到(x^2-2ax+a^2-4=0)，

即(x^2-2ax+(a+2)(a-2)=[x-(a-2)][x-(a+2)]=0)，即(x_1=a-2)，(x_2=a+2)，

做出如图所示的图像，由图可知，

(H_1(x))为图中如图所示的紫色虚线，(H_1(x)_{min}=A=f(a+2))

(=(a+2)^2-2(a+2)(a+2)+a^2=-4a-4)，

(H_2(x))为图中如图所示的黄色实线，(H_2(x)_{max}=B=g(a-2))

(=-(a-2)^2+2(a-2)(a-2)-a^2+8=-4a+12)，

故(A-B=(-4a-4)-(-4a+12)=-16)。故选B。

【2019届高三理科数学二次函数和幂函数课时作业第6题】若函数(f(x)=(1-x^2)(x^2+ax-5))的图像关于直线(x=0)对称，求(f(x))的最大值。

分析：由于函数(f(x))为偶函数，(y=1-x^2)为偶函数，

则(y=x^2+ax-5)必为偶函数；故(a=0)，即(f(x)=(1-x^2)(x^2-5))，

令(x^2=tge 0)，则(f(x)=g(t)=(1-t)(t-5))，其中(tge 0)，

做出其函数简图，可知(f(x)_{max}=f(3)=(1-3)(3-5)=4)。

【2019届高三理科数学二次函数和幂函数课时作业第10题】如果存在实数(x)，使得关于(x)的不等式(ax^2-4x+a-4<0)成立，求实数(a)的取值范围。

分析法1：利用二次函数求解；

转化为仿二次不等式(ax^2-4x+a-3<0)能成立，分类讨论如下：

①当(a=0)时，不等式为(-4x-3<0)，故(x>-cfrac{3}{4})，有解，故满足；

②当(a>0)时，二次不等式(ax^2-4x+a-3<0)能成立，必须(Delta >0)，解得(0<a<4)；

③当(a<0)时，二次不等式(ax^2-4x+a-3<0)必然有解，故满足；

综上所述，(ain (-infty，4))。

法2：分离参数法，(a<cfrac{4x+3}{x^2+1})在(R)上能成立，

令(h(x)=cfrac{4x+3}{x^2+1})，用导数法求得(h(x)_{min}=4)，此处略。

故(a<4)，即(ain (-infty，4))。

【2019届高三理科数学二次函数和幂函数课时作业第8题】已知二次函数(y=f(x))的顶点坐标是((-cfrac{3}{2}，49))，切且方程(f(x)=0)的两个实根之差为(7)，求其解析式。

分析：设(f(x)=a(x+cfrac{3}{2})^2+49)，由(|x_1-x_2|=7)，

法1：利用韦达定理，((x_1-x_2)^2=49)，即((x_1+x_2)^2-4x_1x_2=49)，

代入(x_1+x_2)和(x_1x_2)的值，求得(a=-4)，故(f(x)=-4x^2-12x+40)；

法2：从形的角度，不论开口如何，做出函数简图，对称轴是(x=-cfrac{3}{2})，半弦长为(cfrac{7}{2})，

则(-cfrac{3}{2}+cfrac{7}{2}=0)，即必有(f(2)=0)，解得(a=-4)，故(f(x)=-4x^2-12x+40)；

【2019届高三理科数学二次函数和幂函数课时作业第6题】已知函数(f(x)=ax^2+bx+c)，且(a>b>c)，(a+b+c=0)，则【】

$A.forall xin(0，1)，都有f(x)>0$

$B.forall xin(0，1)，都有f(x)<0$

$C.exists x_0in(0，1)，都有f(x_0)=0$

$D.exists x_0 in(0，1)，都有f(x_0)>0$

分析：由(a>b>c)，(a+b+c=0)可知，(a>0)，(c<0)，

又(f(1)=a+b+c=0)，做出满足以上条件的示意图，可知(forall xin(0，1))，都有(f(x)<0)；故选(B)；

【2019届高三理科数学二次函数和幂函数课时作业第6题】如图是二次函数(y=ax^2+bx+c)图像的一部分，图像过点(A(-3，0))，对称轴是(x=-1)，则下面的四个结论哪些是正确的？

①(b^2>4ac)；②(2a-b=1)；③(a-b+c=0)；④(5a<b)；

分析：有图可知，函数与(x)轴有两个交点，则(Delta>0)，即(b^2-4ac>0)，故①正确；

由对称轴(x=-cfrac{b}{2a}=-1)，可得(2a-b=0)，故②错；

由图可知，(f(-1)=a-b+c>0)，故③错；

又由于开口向下，故(a<0)，则(5a-b=5a-2a=3a<0)，故④正确。

【2019届高三理科数学二次函数和幂函数课时作业第6题】已知函数(f(x)=x^2+2(a-2)x+4)，如果对(xin [-3，1])，(f(x)>0)恒成立，则实数(a)的取值范围是_______。

【法1：二次函数在定区间上恒成立，分类标准为(Delta)+对称轴】

(f(x)=x^2+2(a-2)x+4)，对称轴为(2-a)，(Delta=4(a-2)^2-16=4(a^2-4a))，

由对(xin [-3，1])，(f(x)>0)恒成立，可以分为以下几种，

①(Delta <0)或②(left{egin{array}{l}{Deltage 0}\{2-aleq -3}\{f(-3)>0}end{array} ight.)或③(left{egin{array}{l}{Deltage 0}\{2-age 1}\{f(1)>0}end{array} ight.)；

解①得到，(0<a<4)；

解②得到，(ain varnothing)；

解③得到，(-cfrac{1}{2}<aleq 0)；

综上所述，(ain(-cfrac{1}{2}，4))。

【法2：二次函数在定区间上恒成立，分类标准仅仅为对称轴】

(f(x)=x^2+2(a-2)x+4)，对称轴为(2-a)，

由对(xin [-3，1])，(f(x)>0)恒成立，只需要(f(x)_{min}>0)即可；

针对对称轴和给定区间的位置关系可以分为以下几种，

①(left{egin{array}{l}{2-aleq -3}\{f(-3)>0}end{array} ight.)或②(left{egin{array}{l}{-3<2-a<1}\{f(2-a)>0}end{array} ight.)或③(left{egin{array}{l}{2-age 1}\{f(1)>0}end{array} ight.)；

解①得到，(ain varnothing)；

解②得到，(1<a<4)；

解③得到，(-cfrac{1}{2}<aleq 1)；

综上所述，(ain(-cfrac{1}{2}，4))。

【法3：分离参数法+分类讨论】

转化为(2xa>-x^2+4x-4)在区间(xin [-3，1])上恒成立，

①当(x=0)时，(ain R)都成立；

②当(0<xleq 1)时，(a>cfrac{-x^2+4x-4}{2x}=-cfrac{x}{2}-cfrac{2}{x}+2=g(x))恒成立，

即(a>g(x)_{max})，用对勾函数可以求得当(0<xleq 1)时的(g(x)_{max}=g(1)=-cfrac{1}{2})；

故(a>-cfrac{1}{2})；

③当(-3leq x<0)时，(a<cfrac{-x^2+4x-4}{2x}=-cfrac{x}{2}-cfrac{2}{x}+2=g(x))恒成立，

即(a<g(x)_{min})，用对勾函数可以求得当(-3leq x<0)时的(g(x)_{min}=g(-2)=4)；

故(a<4)；

综上所述，以上情况取交集，得到(ain(-cfrac{1}{2}，4))。

解后反思：

①当针对参数分类讨论时，最后的结果必须求并集；当针对自变量分类讨论时，最后的结果必须求交集；

②整理出方法3只是为了说明这种方法也是可行的，但是碰到这类题目我们一般不采用方法3；

其中本题目求解中省略了求函数(g(x))的两个最值的大量的篇幅。如果补充就等于我们一次做了2-3个题目，

从效率上说很不划算。

【2019届高三理科数学二次函数和幂函数课时作业第6题】已知函数(f(x)=ax^2-2ax+2+b(a eq 0))，若在区间([2，3])上有最大值为(5)，最小值为(2)，

（1）求(a，b)的值；

分析：(f(x)=a(x-1)^2+2+b-a)，对称轴为(x=1)，给定区间为([2，3])，

①当(a>0)时，(f(x))在区间([2，3])上为增函数，

故(left{egin{array}{l}{f(2)=2}\{f(3)=5}end{array} ight.)，

即(left{egin{array}{l}{2+b=2}\{3a+b+2=5}end{array} ight.)，解得(left{egin{array}{l}{a=1>0}\{b=0}end{array} ight.)，满足题意；

②当(a<0)时，(f(x))在区间([2，3])上为减函数，

故(left{egin{array}{l}{f(2)=5}\{f(3)=2}end{array} ight.)，

即(left{egin{array}{l}{2+b=5}\{3a+b+2=2}end{array} ight.)，解得(left{egin{array}{l}{a=-1<0}\{b=3}end{array} ight.)，满足题意；

故所求的(a，b)的值为(left{egin{array}{l}{a=1}\{b=0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{a=-1}\{b=3}end{array} ight.)，，

（2）若(b<1)，(g(x)=f(x)-mx)在区间([2，4])上单调，求(m)的取值范围。

分析：法1，二次函数法，由于(b<1)，故(a=1，b=0)，即(f(x)=x^2-2x+2)，

(g(x)=x^2-2x+2-mx=x^2-(2+m)x+2)，对称轴为(x=cfrac{m+2}{2})，

由于(g(x))区间([2，4])上单调，则有

(cfrac{m+2}{2}leq 2)或(cfrac{m+2}{2}ge 4)，

解得(mleq 2)或(mge 6)，故(min (-infty，2]cup[6，+infty))。

法2：导数法，(g(x)=x^2-2x+2-mx=x^2-(2+m)x+2)，

由于(g(x))区间([2，4])上单调，

①若(g(x))区间([2，4])上单调递增，

则有(g'(x)ge 0)在区间([2，4])上恒成立，且不为常函数；

(g'(x)=2x-2-mge 0)在区间([2，4])上恒成立，分离参数得，

即(mleq 2x-2)在区间([2，4])上恒成立，

故(mleq (2x-2)_{min}=2)；

②若(g(x))区间([2，4])上单调递减，

则有(g'(x)leq 0)在区间([2，4])上恒成立，且不为常函数；

(g'(x)=2x-2-mleq 0)在区间([2，4])上恒成立，分离参数得，

即(mge 2x-2)在区间([2，4])上恒成立，

故(mge (2x-2)_{max}=6)；

综上所述，(mleq 2)或(mge 6)，故(min (-infty，2]cup[6，+infty))。

已知函数(f(x)=x^2-ax+a+3)，(h(x)=ax-2x)，若不存在(x_0in R)，使得(f(x_0)<0)与(h(x_0)<0)同时成立，则实数(a)的取值范围是多少？

解析：函数(f(x)=x^2-ax+a+3)，对称轴是(x=cfrac{a}{2})，(Delta=a^2-4(a+3)=a^2-4a-12)，(h(x)=ax-2x=a(x-2))，恒过定点((2，0))

(1^。) 当(a=0)时，(f(x)=x^2+3，h(x)=0)，满足题意。

(2^。) 当(a>0)时，(x_0<2)时，(h(x_0)<0)，故只须(x_0<2)时，(f(x_0)ge0)恒成立。

只需要(egin{cases} &a>0 \ &Delta<0end{cases})或者(egin{cases} &a>0 \ &Deltage 0 \ &cfrac{a}{2}ge 2 \ &f(2)=7-age 0end{cases})

解得(0<a<6)或(6 leq a leq 7)，故 (0 <a leq 7).

(3^。) 当(a<0)时，(x_0>2)时，(h(x_0)<0)，故只须(x_0>2)时，(f(x_0)ge0)恒成立。

只需要(egin{cases} &a<0 \ &Delta<0end{cases})或者(egin{cases} &a<0 \ &Deltage 0 \ &cfrac{a}{2}leq 2 \ &f(2)=7-age 0end{cases})

解得(-2<a<0)或(a leq -2)，故 (a < 0).

综合以上可知，(aleq 7)。

【二次函数中的恒成立问题】已知(ain R)，函数(f(x)=2ax^2+2x-3)在(xin [-1，1])上恒小于零，则实数(a)的取值范围是_____________。

法1：遇到恒成立问题，一般首先考虑能否分离参数的方法，本题目可以分离参数，但需要针对自变量分类讨论。

当(x=0)，(-3<0)恒成立，故(ain R)；

当(x eq 0)时，分离参数并整理，得到(a<cfrac{3-2x}{2x^2})恒成立，

令(g(x)=cfrac{3-2x}{2x^2}=cfrac{3}{2}(cfrac{1}{x})^2-cfrac{1}{x}=cfrac{3}{2}[(cfrac{1}{x})^2-cfrac{2}{3} imescfrac{1}{x}+(cfrac{1}{3})^2]-cfrac{3}{2} imes (cfrac{1}{3})^2)

(=cfrac{3}{2}(cfrac{1}{x}-cfrac{1}{3})^2-cfrac{1}{6})恒成立，

由于(xin [-1，0)cup(0，1])，故(t=cfrac{1}{x}in (-infty，-1]cup[1，+infty))，

则(g(x)=h(t)=cfrac{3}{2}(t-cfrac{1}{3})^2-cfrac{1}{6})，

故当(t=1)，即(x=1)时，(g(x)_{min}=cfrac{1}{2})；故(a<cfrac{1}{2})，

综上所述取交集，得到实数(a)的取值范围是((-infty，cfrac{1}{2})).

法2：还可以不分离参数，针对参数分类讨论如下。

①当(a=0)时，(f(x)=2x-3)，(f(x)_{max}=f(1)=2-3<0)成立，故(a=0)满足；

当(a eq 0)时，(f(x))为二次函数，对称轴为(x=-cfrac{1}{2a})，

②(left{egin{array}{l}{a>0}\{f(1)<0}\{f(-1)<0}end{array} ight.) 解得(left{egin{array}{l}{a>0}\{a<frac{1}{2}}\{a<frac{5}{2}}end{array} ight.) 即(0<a<cfrac{1}{2})

③(left{egin{array}{l}{a<0}\{-cfrac{1}{2a}geqslant 1}\{f(1)<0}end{array} ight.) 解得(left{egin{array}{l}{a<0}\{-frac{1}{2}leqslant a<0 }\{ a<frac{1}{2}}end{array} ight.) 即(-cfrac{1}{2}leqslant a<0)

④(left{egin{array}{l}{a<0}\{-cfrac{1}{2a}leqslant -1}\{f(-1)<0}end{array} ight.) 解得(left{egin{array}{l}{a<0}\{ain varnothing}\{a<frac{5}{2}}end{array} ight.) 即(ain varnothing)

⑤(left{egin{array}{l}{a<0}\{Delta<0}end{array} ight.) 解得(left{egin{array}{l}{a<0}\{a<-frac{1}{6}}end{array} ight.) 即(a<-cfrac{1}{6})

综上所述取并集，得到实数(a)的取值范围是((-infty，cfrac{1}{2})).

【解后反思】1、对于恒成立类题目，若针对自变量分类讨论，则结果必须取交集；若针对参数分类讨论，则结果必须取并集。2、若能注意到(a<0)，则对称轴(x=-cfrac{1}{2a}>0)，则可以直接排除情形④的讨论；