三角函数求值三个类型

前言

三角函数的求值，对许多学生而言，都是个噩梦，我们不妨借助这篇博文梳理思路。

给角求值

例1求值：(cfrac{cos85^{circ}+sin25^{circ}cos30^{circ}}{cos25^{circ}})

分析：这类题目往往需要将非特殊角拆分，然后约掉含有非特殊角的代数式，就得到了最终的值。

原式=(cfrac{cos(90^{circ}-5^{circ})+cfrac{sqrt{3}}{2}sin25^{circ}}{cos25^{circ}})(=cfrac{sin5^{circ}+cfrac{sqrt{3}}{2}sin25^{circ}}{cos25^{circ}})

(=cfrac{sin(30^{circ}-25^{circ})+cfrac{sqrt{3}}{2}sin25^{circ}}{cos25^{circ}})(=cfrac{cfrac{1}{2}cos25^{circ}}{cos25^{circ}}=cfrac{1}{2})

例2求值：(cfrac{sin^250^{circ}}{1+sin10^{circ}})

分析：原式=(cfrac{1-cos100^{circ}}{2(1+sin10^{circ})})(=cfrac{1-cos(90^{circ}+10^{circ})}{2(1+sin10^{circ})})

(=cfrac{1+sin10^{circ}}{2(1+sin10^{circ})}=cfrac{1}{2})

• 其他相关习题请移步：三角函数给角求值；

给值求值

角度一：已知角是一个，未知角也是一个角

例3【教材习题改编】已知(sin(alpha-cfrac{pi}{3})=cfrac{15}{17})，(alphain(cfrac{pi}{2}，cfrac{5pi}{6}))，则(sinalpha)的值为【】

分析：如果已知的角为一个，如(alpha-cfrac{pi}{3})，未知角也是一个，如(alpha)，此时二者之间的关系往往利用互余、互补、半角、倍角、特殊角的角度建立联系，

比如本题目(alpha=(alpha-cfrac{pi}{3})+cfrac{pi}{3})，

故(sinalpha=sin[(alpha-cfrac{pi}{3})+cfrac{pi}{3}]=sin(alpha-cfrac{pi}{3})coscfrac{pi}{3}+cos(alpha-cfrac{pi}{3})sincfrac{pi}{3}=cfrac{15+8sqrt{3}}{34}).

• 备注：简单题目只需要用到互余、互补、半角、倍角、特殊角中的某一个角度就可以求解；

例4【2017枣庄模拟】设(alpha)为锐角，(cos(alpha+cfrac{pi}{6})=cfrac{4}{5})，求(sin(2alpha+cfrac{pi}{12}))的值；

分析：注意到已知角为一个(alpha+cfrac{pi}{6})，未知角也是一个(2alpha+cfrac{pi}{12})，故二者之间的联系可能是从余、补、半、倍、特的角度建立联系，

故将已知角二倍得到(2(alpha+cfrac{pi}{6})=2alpha+cfrac{pi}{3})，发现还是和未知角不一样，故做差就发现，(2alpha+cfrac{pi}{12}=2(alpha+cfrac{pi}{6})-cfrac{pi}{4})，

故(sin(2alpha+cfrac{pi}{12})=sin[2(alpha+cfrac{pi}{6})-cfrac{pi}{4}]=sin[2(alpha+cfrac{pi}{6})]coscfrac{pi}{4}-cos[2(alpha+cfrac{pi}{6})]sincfrac{pi}{4})

(=2sin(alpha+cfrac{pi}{6})cos(alpha+cfrac{pi}{6})coscfrac{pi}{4}-[2cos^2(alpha+cfrac{pi}{6})-1]sincfrac{pi}{4}=cdots=cfrac{17sqrt{2}}{50}).

• 备注：复杂一些的题目可能需要用到互余、互补、半角、倍角、特殊角中的某两个以上的角度才可以求解；

例5【2016·福建师大附中月考】若(sin(cfrac{pi}{3}-alpha)=cfrac{1}{4})，则(cos(cfrac{2pi}{3}+2alpha))=【】

$A、-cfrac{7}{8}$ $B、-cfrac{1}{4}$ $C、cfrac{1}{4}$ $D、cfrac{7}{8}$

分析：(cos(cfrac{2pi}{3}+2alpha)=cos[pi-(cfrac{pi}{3}-2alpha)])

(=-cos[2(cfrac{pi}{3}-alpha)]=-1+2sin^2(cfrac{pi}{3}-alpha))

(=-1+2 imes (cfrac{1}{4})^2=-cfrac{7}{8})，故选A。

例6【2017黑龙江哈尔滨六中模拟】已知(sin(alpha+cfrac{pi}{3})+cos(alpha-cfrac{pi}{2})=-cfrac{4sqrt{3}}{5})，则(cos(alpha+cfrac{2pi}{3}))的值为_____。

分析：先将已知条件变形为(sqrt{3}sin(alpha+cfrac{pi}{6})=-cfrac{4sqrt{3}}{5})，

即(sin(alpha+cfrac{pi}{6})=-cfrac{4}{5})，求(cos(alpha+cfrac{2pi}{3}))；

到此题目的要求明显多了，就是个给值求值题目；

故这样变形，(cos(alpha+cfrac{2pi}{3})=cos(alpha+cfrac{pi}{6}+cfrac{pi}{2})=-sin(alpha+cfrac{pi}{6})=cfrac{4}{5})；

• 角度二：已知角为两个，未知角为一个角

例7【2016聊城模拟】若(tanalpha=-cfrac{1}{2})，(tan(alpha-eta)=-cfrac{2}{5})，求(taneta)的值。

分析：如果已知的角为两个，如(alpha)和(alpha-eta)；未知角是一个，如(eta)，此时二者之间的关系往往利用两个已知角的和差就能凑出未知角，

比如本题目(eta=alpha-(alpha-eta))

故(taneta=tan[alpha-(alpha-eta)]=cfrac{tanalpha-tan(alpha-eta)}{1+tanalphacdot tan(alpha-eta)}=-cfrac{1}{12})

例8已知(sinalpha+sineta=sqrt{3}(coseta-cosalpha))，(alpha，etain (0，cfrac{pi}{2}))，则(sin3alpha+sin3eta=underline{0})

分析：由题目(sinalpha+sineta=sqrt{3}(coseta-cosalpha))，则(sinalpha+sqrt{3}cosalpha=sqrt{3}coseta-sineta)，

即(cos(alpha-cfrac{pi}{6})=cos(eta+cfrac{pi}{6}))，

又(alpha-cfrac{pi}{6}in(-cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{3}))，(eta+cfrac{pi}{6}in(cfrac{pi}{6}，cfrac{2pi}{3}))，

则有(alpha-cfrac{pi}{6}=eta+cfrac{pi}{6})，即(alpha=eta+cfrac{pi}{3})

故(sin3alpha+sin3eta=sin3(eta+cfrac{pi}{3})+sin3eta)

(=sin(3eta+pi)+sin3eta=-sin3eta+sin3eta=0)

例9设(alpha)、(eta)都是锐角，且(cosalpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，(sin(alpha+eta)=cfrac{3}{5})，则(coseta)等于【】

$A、cfrac{2sqrt{5}}{25}$ $B、cfrac{2sqrt{5}}{5}$ $C、cfrac{2sqrt{5}}{25}或cfrac{2sqrt{5}}{5}$ $D、cfrac{2sqrt{5}}{25}或cfrac{sqrt{5}}{5}$

分析：由已知可得：(sinalpha=cfrac{2sqrt{5}}{5})，(cos(alpha+eta)=pm cfrac{4}{5})，

若(cos(alpha+eta)=cfrac{4}{5}>cfrac{sqrt{5}}{5}=cosalpha)，则有(alpha+eta<alpha)，

即(eta<0)，这与(eta)为锐角矛盾舍去，故(cos(alpha+eta)=-cfrac{4}{5})，

所以(coseta=cos[(alpha+eta)-alpha])

(=cos(alpha+eta)cosalpha+sin(alpha+eta)sinalpha)

(=cfrac{2sqrt{5}}{25})，故选(A)。

例9+1已知(alpha)为第Ⅳ象限角，且(sin(alpha+cfrac{pi}{4})=cfrac{3}{5})，求(tan(alpha-cfrac{pi}{4}))的值；

法1：由题目可知，(cfrac{sqrt{2}}{2}(sinalpha+cosalpha)=cfrac{3}{5})，则(sinalpha+cosalpha=cfrac{3sqrt{2}}{5})，

和(sin^2alpha+cos^2alpha=1)联立，得到(2sin^2alpha-cfrac{6sqrt{2}}{5}sinalpha-cfrac{7}{25}=0)，即((sqrt{2}sinalpha+cfrac{1}{5})(sqrt{2}sinalpha-cfrac{7}{5})=0)

解得(sinalpha=-cfrac{sqrt{2}}{10})，或(sinalpha=cfrac{7sqrt{2}}{10})(不符，舍去)，

即(sinalpha=-cfrac{sqrt{2}}{10})，(cosalpha=cfrac{7sqrt{2}}{10})，从而(tanalpha=-cfrac{1}{7})

代入(tan(alpha-cfrac{pi}{4})=cfrac{tanalpha-1}{1+tanalpha}=-cfrac{4}{3})；

法2：由(sinalpha+cosalpha=cfrac{3sqrt{2}}{5})，得到(2sinalpha cosalpha=-cfrac{7}{25})，

则有((sinalpha-cosalpha)^2=cfrac{32}{25})，由于(alpha)为第Ⅳ象限角，

得到(sinalpha-cosalpha=-cfrac{4sqrt{2}}{5})，又(sinalpha+cosalpha=cfrac{3sqrt{2}}{5})，

即(sinalpha=-cfrac{sqrt{2}}{10})，(cosalpha=cfrac{7sqrt{2}}{10})，从而(tanalpha=-cfrac{1}{7})

代入(tan(alpha-cfrac{pi}{4})=cfrac{tanalpha-1}{1+tanalpha}=-cfrac{4}{3})；

法3：由(2sinalpha cosalpha=-cfrac{7}{25})，得到(cfrac{2sinalpha cosalpha}{sin^2alpha+cos^2alpha}=-cfrac{7}{25})，

则(cfrac{2tanalpha}{tan^2alpha+1}=-cfrac{7}{25})，解得(tanalpha=-7)或(tanalpha=-cfrac{1}{7})，

又由于又(sinalpha+cosalpha=cfrac{3sqrt{2}}{5})，则(|cosalpha|>|sinalpha|)，即(|tanalpha|<1)，

故保留(tanalpha=-cfrac{1}{7})，代入(tan(alpha-cfrac{pi}{4})=cfrac{tanalpha-1}{1+tanalpha}=-cfrac{4}{3})；

例9+2已知(sin( heta-cfrac{pi}{4})=cfrac{2sqrt{2}}{3})，则(sin2 heta)的值为【】

$A.cfrac{7}{9}$ $B.-cfrac{7}{9}$ $C.cfrac{2}{9}$ $D.-cfrac{2}{9}$

[法1]：从数的角度分析，借助三角函数的变换求解；将已知的角看成两个角( heta)和(cfrac{pi}{4})的差，

由于(sin( heta-cfrac{pi}{4})=cfrac{2sqrt{2}}{3})，即(sin hetacdot cfrac{sqrt{2}}{2}-cos hetacdot cfrac{sqrt{2}}{2}=cfrac{2sqrt{2}}{3}),

整理得到，(sin heta-cos heta=cfrac{4}{3})，两边平方得到(1-sin2 heta=cfrac{16}{9})

则(sin2 heta=-cfrac{7}{9})，故选(B);

[法2]：从数的角度分析，借助三角函数的变换求解；将已知的角( heta-cfrac{pi}{4})看成一个整体角，

(sin2 heta=cos(cfrac{pi}{2}-2 heta)=cos2(cfrac{pi}{4}- heta)=cos2( heta-cfrac{pi}{4}))

(=1-2sin^2( heta-cfrac{pi}{4})=1-2cdot (cfrac{2sqrt{2}}{3})^2=-cfrac{7}{9})，故选(B);

[法3]：从形的角度分析，借助三角函数线求解；

做平面直角坐标系和单位圆，由(sin( heta-cfrac{pi}{4})=cfrac{2sqrt{2}}{3})可知，

则角( heta-cfrac{pi}{4})的终边位于射线(OA)或(OB)上，其关于(y)轴对称，

将其顺时针旋转(cfrac{pi}{4})，得到角( heta)的终边位于射线(OC)或(OD)上，其关于(y=-x)轴对称，

将角( heta)乘以(2)倍，则得到角(2 heta)的终边位于射线(OM)或(ON)上，其关于(y)轴对称，

结合图像，如果做其正弦线，可知首先排除选项(A)，(C)，比较选项(B)，(D)，

可知应该排除(D)，而选(B)；

给值求角

例10定义运算：(left |egin{array}{cccc}a&b \c&dend{array} ight |=ad-bc)，若(cosalpha=cfrac{1}{7})，(left |egin{array}{cccc}sinalpha&sineta \cosalpha&cosetaend{array} ight |=cfrac{3sqrt{3}}{14})，(0<eta<alpha<cfrac{pi}{2})，则(eta)等于【】

$A.cfrac{pi}{12}$ $B.cfrac{pi}{6}$ $C.cfrac{pi}{4}$ $D.cfrac{pi}{3}$

分析：有题目可知，(sinalpha coseta-cosalpha sineta=sin(alpha-eta)=cfrac{3sqrt{3}}{14})，

又(0<eta<alpha<cfrac{pi}{2})，则(0<alpha-eta<cfrac{pi}{2})，故(cos(alpha-eta)=cfrac{13}{14})，

又(cosalpha=cfrac{1}{7})，则(sinalpha=cfrac{4sqrt{3}}{7})，

故(sineta=sin[alpha-(alpha-eta)]=sinalpha cos(alpha-eta)-cosalpha sin(alpha-eta)=cfrac{4sqrt{3}}{7} imes cfrac{13}{14}-cfrac{1}{7} imes cfrac{3sqrt{3}}{14}=cfrac{sqrt{3}}{2})

又由于(0<eta<cfrac{pi}{2})，故(eta=cfrac{pi}{3})。

例11【2018成都模拟,难点题目】若(sin2alpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，(sin(eta-alpha)=cfrac{sqrt{10}}{10})，且(alphain [cfrac{pi}{4}，pi])，(etain [pi，cfrac{3pi}{2}])，则(alpha+eta)的值是【】

$A、cfrac{7pi}{4}$ $B、cfrac{9pi}{4}$ $C、cfrac{5pi}{4}或cfrac{7pi}{4}$ $D、cfrac{5pi}{4}或cfrac{9pi}{4}$

分析：此题属于给值求角，难在角的范围的压缩。

由于(alphain [cfrac{pi}{4}，pi])，(2alphain [cfrac{pi}{2}，2pi])，

但(sin2alpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，故(2alphain [cfrac{pi}{2}，pi])，

故(alpha in [cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2}])，难点：角的范围的压缩

所以(cos2alpha=-cfrac{2sqrt{5}}{5})，

又(alpha in [cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2}])，(etain [pi，cfrac{3pi}{2}])，

故(eta-alphain [cfrac{pi}{2}，cfrac{5pi}{4}])，

于是，(cos(eta-alpha)=-cfrac{3sqrt{10}}{10})，

所以(cos(alpha+eta)=cos[2alpha+(eta-alpha)])

(=cos2alpha cos(eta-alpha)-sin2alpha sin(eta-alpha))

(=-cfrac{2sqrt{5}}{5} imes (-cfrac{3sqrt{10}}{10})-cfrac{sqrt{5}}{5} imes cfrac{sqrt{10}}{10})

(=cfrac{sqrt{2}}{2})

且(alpha+etain [cfrac{5pi}{4}，2pi])，故(alpha+eta=cfrac{7pi}{4})，故选(A)。

解后反思：1、给值求角类题目往往先转化为给值求值，然后还需要所求角的范围。

2、求角时的函数类型的选择：

①从题目所给的值来看，所给的值是正弦和余弦，则往往函数选择(sin)和(cos)；所给的值是正切，则往往函数选择(tan)；简单记为给弦选弦，给切选切；

②从题目所求的角来看，若角的范围是((0，pi))，则选(cos)；若角的范围是((-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}))，则选(sin)；利用单调性这样就会一个萝卜一个坑，不担心多值的情形。

例11+1已知(alpha，etain (0，pi))，且(tan(alpha-eta)=cfrac{1}{2})，(taneta=-cfrac{1}{7})，则(2alpha-eta)的值为________。

分析：由已知(alphain (0，pi))，(tanalpha=tan[(alpha-eta)+eta]=cfrac{1}{3}>0)，则(alphain (0，cfrac{pi}{2}))，

又由于(tan2alpha=cdots=cfrac{3}{4})，则(0<2alpha<cfrac{pi}{2})，

又由于(taneta=-cfrac{1}{7})，(etain (0，pi))，则(cfrac{pi}{2}<eta<pi)，

即(tan(2alpha-eta)=cdots=1)，

又由于(0<2alpha<cfrac{pi}{2})，(cfrac{pi}{2}<eta<pi)，

则(-pi<2alpha-eta<0)，故(2alpha-eta=-cfrac{3pi}{4})；

例12已知(tanalpha)，(taneta)是方程(x^2+3sqrt{3}x+4=0)的两个根，且(alpha)，(etain (-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}))，则(alpha+eta)等于【】

$A.-cfrac{2pi}{3}$ $B.-cfrac{2pi}{3}或cfrac{pi}{3}$ $C.-cfrac{pi}{3}或cfrac{2pi}{3}$ $D.cfrac{pi}{3}$

分析：由韦达定理可知，(tanalpha+taneta=-3sqrt{3})，(tanalphacdot taneta=4)，

结合符号法则可知，(tanalpha<0)，(taneta<0)，则由此可以压缩角的范围，(alpha)，(etain (-cfrac{pi}{2}，0))，

由此知道，(alpha+etain (-pi，0))，接下来求其某一个三角函数的值，结合本题题设可知，需要求(tan(alpha+eta));

(tan(alpha+eta)=cfrac{tanalpha+taneta}{1-tanalphacdot taneta}=cfrac{-3sqrt{3}}{1-4}=sqrt{3})，

结合上述范围，(alpha+etain (-pi，0))，则得到(alpha+eta=-cfrac{2pi}{3})，故选(A).

例13【使用三角函数的定义，给值求角类型】已知(eta)是钝角且(coseta=-cfrac{sqrt{5}}{5})，若点(A(1，3))是锐角(alpha)终边上的一点，则(alpha-eta)=_____.

分析：(eta)是钝角且(coseta=-cfrac{sqrt{5}}{5}=-cfrac{1}{sqrt{5}}=cfrac{x}{r})，结合三角函数的定义可知(eta)的终边上某点的坐标为((-1，2))，(r=sqrt{5})，则(sineta=cfrac{2}{sqrt{5}})；

锐角(alpha)终边上的一点(A(1，3))，则(r=sqrt{10})，(sinalpha=cfrac{3}{sqrt{10}})，(cosalpha=cfrac{1}{sqrt{10}})，

由于(sin(alpha-eta)=sinalpha coseta-cosalpha sineta=cdots=-cfrac{sqrt{2}}{2})，

又(coseta=-cfrac{1}{sqrt{5}}>-cfrac{sqrt{2}}{2}=coscfrac{3pi}{4})，可以将范围压缩为(etain (cfrac{pi}{2}，cfrac{3pi}{4}))，

又(sinalpha=cfrac{3}{sqrt{10}}>cfrac{sqrt{2}}{2}=sincfrac{pi}{4})，可以将范围压缩为(alphain (cfrac{pi}{4}，cfrac{pi}{2}))，

故由不等式性质得到(alpha-etain (-cfrac{pi}{2}，0))，故(alpha-eta=-cfrac{pi}{4})。

新题补充

例1【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】设(5sinalpha=2+4cos^2alpha)，则(cos2alpha)=________。

分析：由已知条件，解方程得到(sinalpha=-2)(舍去)，(sinalpha=cfrac{3}{4})，则(cos2alpha=1-2sin^2alpha=-cfrac{1}{8})。

例2【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知(alpha)为第(Ⅳ)象限角，且(sin(alpha+cfrac{pi}{3})=cfrac{3}{5})，则(sin(alpha+cfrac{pi}{12}))=__________.

分析：由(alpha)为第Ⅳ象限角，且(sin(alpha+cfrac{pi}{3})=cfrac{3}{5})，则(cos(alpha+cfrac{pi}{3})=cfrac{4}{5})，

则(sin(alpha+cfrac{pi}{12})=sin[(alpha+cfrac{pi}{3})-cfrac{pi}{4}]=cfrac{3}{5} imes cfrac{sqrt{2}}{2}-cfrac{4}{5} imes cfrac{sqrt{2}}{2}=-cfrac{sqrt{2}}{10})。

例3【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知(cos(alpha+cfrac{pi}{4})=-cfrac{5sqrt{2}}{8})，则(sin2alpha)=【】

$A.-cfrac{5}{8}$ $B.-cfrac{9}{16}$ $C.cfrac{9}{16}$ $D.cfrac{5}{8}$

分析：(sin2alpha=-cos(cfrac{pi}{2}+2alpha)=-[2cos^2(alpha+cfrac{pi}{4})^2-1]=-cfrac{9}{16})，故选(B).

例4【2020届高三文科数学训练题】已知(tan(alpha+eta)=2)，(taneta=3)，则(sin2alpha)=【】

$A.cfrac{7}{25}$ $B.cfrac{14}{25}$ $C.-cfrac{7}{25}$ $D.-cfrac{14}{25}$

法1：先求得(tanalpha=-cfrac{1}{7})，则(cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{-1}{7}=cfrac{-k}{7k})，((k eq 0))，

则(sinalpha=-k)，(cosalpha=7k)，则由(k^2+49k^2=1)得到(k^2=cfrac{1}{50})，

故(sin2alpha=2sinalphacdot cosalpha=2 imes (-k) imes 7k=-14 imes k^2=-14 imes cfrac{1}{50}=-cfrac{7}{25})，故选(C)。

法2：先求得(tanalpha=-cfrac{1}{7})，由二次齐次式可得

(sin2alpha=cfrac{2sinacdot cosalpha}{sin^2alpha+cos^2alpha}=cfrac{2tanalpha}{tan^2alpha+1}=-cfrac{7}{25})，故选(C)。

例5【2020届高三文科数学训练题】已知(alpha)为第二象限角，(sin(alpha+cfrac{pi}{4})=cfrac{sqrt{2}}{10})，则( ancfrac{alpha}{2})的值为【】

$A.-cfrac{1}{2}$ $B.cfrac{1}{3}$ $C.2$ $D.-3$

法1：由(sin(alpha+cfrac{pi}{4})=cfrac{sqrt{2}}{2}(sinalpha+cosalpha)=cfrac{sqrt{2}}{10})，可以得到(sinalpha+cosalpha=cfrac{1}{5})，

又(alpha)为第二象限角，结合勾股数(3,4,5)，可知(sinalpha=cfrac{4}{5})，(cosalpha=-cfrac{3}{5})，

( ancfrac{alpha}{2}=cfrac{sincfrac{alpha}{2}}{coscfrac{alpha}{2}})

(=cfrac{sincfrac{alpha}{2}cdot 2cdotcoscfrac{alpha}{2}}{coscfrac{alpha}{2}cdot 2cdotcoscfrac{alpha}{2}}=cfrac{sinalpha}{1+cosalpha})

(=cfrac{frac{4}{5}}{1-frac{3}{5}}=2)， 故选(C).

法2：由(sin(alpha+cfrac{pi}{4})=cfrac{sqrt{2}}{2}(sinalpha+cosalpha)=cfrac{sqrt{2}}{10})，可以得到(sinalpha+cosalpha=cfrac{1}{5})，

则(sinalpha+cosalpha=cfrac{sinalpha+cosalpha}{sin^2cfrac{alpha}{2}+cos^2cfrac{alpha}{2}})

(=cfrac{2cdotsincfrac{alpha}{2}cdot coscfrac{alpha}{2}+cos^2cfrac{alpha}{2}-sin^2cfrac{alpha}{2}}{sin^2cfrac{alpha}{2}+cos^2cfrac{alpha}{2}})

(=cfrac{2 ancfrac{alpha}{2}- an^2cfrac{alpha}{2}+1}{ an^2cfrac{alpha}{2}+1}=cfrac{1}{5})

解得，( ancfrac{alpha}{2}=2)或( ancfrac{alpha}{2}=-cfrac{1}{3})，

由于(alpha)为第二象限角，由八卦图法可知，( ancfrac{alpha}{2}>0)，故( ancfrac{alpha}{2}=2)，故选(C).

化简证明

1、求证：(cfrac{sin(2alpha+eta)}{sinalpha}-2cos(alpha+eta)=cfrac{sineta}{sinalpha})

2、求证：$(tanalpha+cfrac{1}{tanalpha})cdot cfrac{1}{2}sin2alpha-2cos^2alpha=-cos2alpha $

分析：切化弦，

左式(=(cfrac{sinalpha}{cosalpha}+cfrac{cosalpha}{sinalpha})cdot sinalpha cosalpha-2cos^2alpha)

(=cfrac{1}{sinalpha cosalpha}cdot sinalpha cosalpha-2cos^2alpha)(=1-2cos^2alpha)(=-cos2alpha)