2018年全国卷Ⅱ卷理科数学解析[陕]

前言

从一个数学老师的角度来解析2018高考，结合学生的实际学情，给出学习建议。

选择题

№.01 (cfrac{1+2i}{1-2i}=)【(hspace{4em})】

A.(-cfrac{4}{5}-cfrac{3}{5}ihspace{4em}) B. (-cfrac{4}{5}+cfrac{3}{5}ihspace{4em}) C. (-cfrac{3}{5}-cfrac{4}{5}ihspace{4em}) D.(-cfrac{3}{5}+cfrac{4}{5}ihspace{4em})

【解析】(cfrac{1+2i}{1-2i}=cfrac{(1+2i)^2}{(1-2i)(1+2i)}=cfrac{1+4i^2+4i}{1-4i^2}=-cfrac{3}{5}+cfrac{4}{5}i)，故选D，送分题。

【说明】文科考查复数的乘法运算，理科考查复数的除法运算。

№.02

№.03【2018年全国卷Ⅱ卷理科数学解析[陕]】函数(f(x)=cfrac{e^x-e^{-x}}{x^2})图像大致是【(hspace{2em})】。

【分析】本题目考查函数图像的辨析，需要利用函数的性质求解，函数的性质常包含定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊值、驻点等等，具体要用到哪些性质往往因题目而异。

法1：由题目先分析函数的奇偶性，设(g(x)=e^x-e^{-x})，则(g(-x)=e^{-x}-e^x=-g(x))，即函数(g(x))为奇函数，又函数(y=x^2)为偶函数，故函数(f(x))为奇函数，排除选项A；再由特殊值法，令(x=3)，则估算(f(3)=cfrac{e^3-e^{-3}}{3^2}approxcfrac{2.7^3}{3^2}approx 2)，排除C、D；故选B。

法2：还可以利用奇偶性和单调性来解析本题目，奇偶性如上所述；单调性，(f'(x)=cfrac{(e^x+e^{-x})x^2-(e^x-e^{-x})cdot 2x}{(x^2)^2}=cfrac{(x-2)e^x+(x+2)e^{-x}}{x^3})，接下来常规方法是判断其在(x>0)时的准确的单调区间，这时候不但麻烦，而且已经将题目变成了做函数图像的方法了，不是辨析函数图像的方法，
此时我们观察可以看到当(x>2)时，(f'(x)>0)，故函数(f(x))在((2，+infty))上单调递增，故排除C和D，从而选B。

反思：1、弄清楚题目的类型和相应的解法思路是非常必要的。
2、函数的奇偶性的判断中，有一个常用的方法就是利用性质，比如(奇+奇=奇，奇 imes奇=偶，奇 imes偶=奇，奇/偶=奇)，这些常见的结论一般的高三复习资料上都会有的。

建议：常见函数的奇偶性需要记忆比如，(f(x)=|x|)，(f(x)=e^x+e^{-x})，(f(x)=Acosomega x)都是偶函数；(y=x^3)，(y=e^x-e^{-x})，(y=Asinomega x)都是奇函数。

№.04已知向量(vec{a}，vec{b})满足(|vec{a}|=1)，(vec{a}cdot vec{b}=1)，则(vec{a}cdot (2vec{a}-vec{b})=)【(hspace{4em})】

A.(4hspace{4em}) B. (3hspace{4em}) C. (2hspace{4em}) D.(0hspace{4em})

【解析】(vec{a}cdot (2vec{a}-vec{b})=2vec{a}^2-vec{a}cdot vec{b}=2 imes1+1=3)，故选B，送分题。

№.05双曲线(cfrac{x^2}{a^2}-cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0，b>0))的离心率为(sqrt{3})，则其渐近线方程为【(hspace{4em})】

A.(y=pmsqrt{2}x hspace{4em}) B. (y=pmsqrt{3}x hspace{4em}) C. (y=pmcfrac{sqrt{2}}{2}x hspace{4em}) D.(y=pmcfrac{sqrt{3}}{2}x hspace{4em})

【解析】由已知(e=cfrac{c}{a}=sqrt{3})，则有(c=sqrt{3}k(k>0))，(a=k)，从而(b=sqrt{2}k)，

由(cfrac{x^2}{a^2}-cfrac{y^2}{b^2}=1)，得到其渐近线方程为(cfrac{x^2}{a^2}-cfrac{y^2}{b^2}=0)，即(y=pmcfrac{b}{a}x=pmcfrac{sqrt{2}k}{k}x=pmsqrt{2}x)，故选A。

【建议】巧妙记忆：双曲线(cfrac{x^2}{a^2}-cfrac{y^2}{b^2}=1)的渐近线方程为(cfrac{x^2}{a^2}-cfrac{y^2}{b^2}=0)；

№.06在(Delta ABC)中，(coscfrac{C}{2}=cfrac{sqrt{5}}{5})，(BC=1)，(AC=5)，则(AB=)【(hspace{4em})】

A.(4sqrt{2} hspace{4em}) B. (sqrt{30} hspace{4em}) C. (sqrt{29} hspace{4em}) D.(2sqrt{5}hspace{4em})

【解析】由降幂升角公式得到，(cosC=2cos^2cfrac{C}{2}-1=-cfrac{3}{5})，

再由余弦定理可得，(AB^2=AC^2+BC^2-2ACcdot BCcdot cosC)

(=25+1-2 imes 5 imes 1 imes(-cfrac{3}{5})=32)，故(AB=4sqrt{2})，选A。

№.07

№.08

№.09

№.10

№.11

№.12

填空题

№.13

№.14

№.15 已知(sinalpha+coseta=1)，(cosalpha+sineta=0)，则(sin(alpha+eta))=___________。

法1：见参考答案，分别解出(sinalpha)和(coseta)，再计算即可。

法2：给已知两式同时平方，即得到

(sin^2alpha+cos^2eta+2sinalpha coseta=1)，(cos^2alpha+sin^2eta+2cosalpha sineta=0)，

再相加得到(2+2(sinalpha coseta+cosalpha sineta)=1)，

即(2sin(alpha+eta)=-1)，(sin(alpha+eta)=-cfrac{1}{2})。

【说明】平方相加的变形技巧和参数方程中的平方消参法相同。

№.16

解答题

№.17

№.18

№.19

№.20

№.21№21【题文】 已知函数(f(x)=e^x-ax^2)。

(1).若(a=1)，证明：当(xge 0)时，(f(x)ge 1)。

解析：法1，当(a=1)时，(f(x)=e^x-x^2)，即需要证明$h(x)=e^x-x^2-1ge 0 (在)[0，+infty)$上恒成立，

只需要证明(h(x)_{min}ge 0)恒成立即可。

(h'(x)=e^x-2x)，再令(g(x)=e^x-2x)，

则(g'(x)=e^x-2)，令(g'(x)>0)得到(x > ln2)，令(g'(x) <0) 得到 $ 0leq x < ln2$

故在([0，ln2))上，(g'(x)<0)，(h'(x))单调递减，

在((ln2，+infty))上，(g'(x)>0)，(h'(x))单调递增，

故(h'(x)_{min}=h'(ln2)=e^{ln2}-2ln2=2-2ln2=2(1-ln2)>0)，

即(h'(x)>0)恒成立，故(h(x))在([0，+infty))单调递增，

则有(h(x)_{min}=h(0)=e^0-0^2-1=0)，即(h(x)ge 0)。

也即(e^x-x^2ge 1)，即当(xge 0)时，(f(x)ge 1)。

法2：从形入手，借助形来分析。

(2).若(f(x))在((0，+infty))上只有一个零点，求(a)。

解析：若(f(x)=e^x-ax^2)在((0，+infty))上只有一个零点，

则方程(e^x-ax^2=0)在((0，+infty))上只有一个解，分离参数得到，

方程(a=cfrac{e^x}{x^2})在((0，+infty))上只有一个解，

令(h(x)=cfrac{e^x}{x^2})，则(h'(x)=cfrac{e^xcdot x^2-e^xcdot 2x}{x^4}=cfrac{e^x(x-2)}{x^3})，

即(0< x <2)时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，(x >2)时，(h'(x)>0)，(h(x))单调递增，

即(h(x)_{min}=h(2)=cfrac{e^2}{4})，做出其示意图可知，

当函数(y=a)和函数(h(x)=cfrac{e^x}{x^2})图像仅有一个交点时，(a=cfrac{e^2}{4})，

即方程(e^x-ax^2=0)在((0，+infty))上只有一个解，(a=cfrac{e^2}{4})，

也即函数(f(x)=e^x-ax^2)在((0，+infty))上只有一个零点，(a=cfrac{e^2}{4})，

№.22

№.23