0-1背包简述

1.0-1背包的朴素形式

0-1背包问题：给定编号为1,2...n的n个物品和一个容量为C的背包；每个物品的重量为$w_i$，每个物品的价值为$v_i$，求将物品装入背包后，背包能获得的最大价值。其状态转移方程为：

$$ dp[i][j] = egin{cases} max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i] + v_i} ,& {j ≥ w_i} \ dp[i-1][j] , & {j < w_i} end{cases} $$

其中dp[i][j]表示把编号为从1到i的i个物品放入容量为j的背包所得到的最大的价值。其实现代码如下：

#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#define MAX_NUM 100
using namespace std;
/*0-1背包的朴素形式*/

int main()
{
    int n,C;//n为物品的个数，C为背包的容量
    int weight[MAX_NUM];
    int val[MAX_NUM];
    int dp[MAX_NUM][MAX_NUM];
    cout<<"输入物品个数和背包容量:"<<endl;
    cin>>n>>C;
    cout<<"分别输入这"<<n<<"个物品的重量和价值:"<<endl;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin>>weight[i]>>val[i];
    memset(dp,0,sizeof(dp));//初始化dp数组
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= C; j++) //此处j的初值也可以为weight[i]开始，其实这样效率更高；不过为了便于理解才写成从1开始
        {
            if(j < weight[i])
                dp[i][j] = dp[i- 1][j];
            else
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i-1][j - weight[i]] + val[i]);
        }
    cout<<"背包的最大价值为："<<dp[n][C]<<endl;
}

这种朴素形式的0-1背包的算法的时间复杂度为O(n*C)，空间复杂度也为O(n*C)。

 2.对0-1背包进行优化

对0-1背包的优化主要体现在空间复杂度的优化上，时间复杂度无法再优化了。可以参考：https://blog.csdn.net/hearthougan/article/details/53869671 或者 https://blog.csdn.net/yoer77/article/details/70943462 

或者 https://www.cnblogs.com/fengziwei/p/7750849.html 。

其实现代码如下：

#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#define MAX_NUM 100
using namespace std;
/*0-1背包的优化形式*/

int main()
{
    int n,C;//n为物品的个数，C为背包的容量
    int weight[MAX_NUM];
    int val[MAX_NUM];
    int dp[MAX_NUM];//变成了一位数组
    cout<<"输入物品个数和背包容量:"<<endl;
    cin>>n>>C;
    cout<<"分别输入这"<<n<<"个物品的重量和价值:"<<endl;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin>>weight[i]>>val[i];
    memset(dp,0,sizeof(dp));//初始化dp数组
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = C; j >= 1; j--) //此处j的初值变成了C，然后递减；与朴素形式调过来了；当然此处的中止条件也可为j >= weight[i]
        {
            if(j < weight[i])
                dp[j] = dp[j];
            else
                dp[j] = max(dp[j],dp[j - weight[i]] + val[i]);
        }
    cout<<"背包的最大价值为："<<dp[C]<<endl;
}

优化后的0-1背包算法，时间复杂度仍为O(n*C)，空间复杂度变成了O(C)。