《剑指offer(第二版)》面试题60——n个骰子的点数

一.题目描述

　　把n个骰子仍在地上，所有的骰子朝上的一面的点数之和为s，输入n，打印出s所有可能的值出现的概率。

二.题解

　　《剑指offer》上给出的两种方法，尤其是代码，晦涩难懂且没有注释。而n个骰子的问题实质就是一个动态规划问题，所以文本主要从动态规划的角度来求解这个问题。首先该问题具备DP的两个特征：最优子结构性质和子问题的重叠性。具体的表现在：(1)n个骰子的点数依赖于n-1个骰子的点数，相当于在n-1个骰子点数的基础上再进行投掷。(2)求父问题的同时，需要多次利用子问题。由此定义状态转移方程为$f(n,k)$表示$n$个骰子点数和为$k$时出现的次数，于是可得:

$$ f(n,k) = f(n- 1, k- 1) + f(n- 1, k- 2) + f(n- 1, k- 3) + f(n- 1, k- 4) + f(n- 1, k- 5) + f(n- 1, k- 6) $$

其中 $n > 0$且$k <= 6n$。其中$f(n-1,k-i)$表示的是第n次掷骰子时，骰子的点数为$i$对应的情况，所以从$k-1$到$k-6$分别对应第n次掷骰子时骰子正面为$1$到$6$的情况。而初始状态可以定义为：

$$ f(1,1) = f(1,2) = f(1,3) = f(1,4) = f(1,5) = f(1,6) = 1 $$

所以根据这两个方程，给出的实现代码如下：

#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#define MAX_NUM 100
using namespace std;

void FindSum(int n)
{
    if(n <= 0)
        return;
    int sum = 0;
    int arr[n + 1][6 * n + 1];
    memset(arr,0,sizeof(arr));
    for(int i = 1; i <= 6; i++)//初始状态
        arr[1][i] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)//状态转移方程
    {
        for(int j = i; j <= 6*i; j++)//注意j的范围受i影响
        {
            arr[i][j] += (arr[i - 1][j - 1] + arr[i - 1][j - 2] + arr[i - 1][j - 3] + arr[i - 1][j - 4] + arr[i - 1][j - 5]
                          +arr[i - 1][j - 6]);
        }
    }
    //输出结果
    for(int i = n; i <= 6 * n; i++)
    {
        //cout<<"骰子的和为 "<<i<<" 时，对应的次数为："<<arr[n][i]<<endl;
        sum += arr[n][i];
    }
    cout<<n<<"个骰子总共的次数为 "<<sum<<endl;
    for(int i = n; i <= 6 * n; i++)
    {
        cout<<"骰子的和为 "<<i<<" 时，对应的频率为："<<(arr[n][i] * 1.0 / sum)<<endl;
    }



}
int main()
{
    int n;
    cout<<"请输入骰子的个数:"<<endl;
    cin>>n;
    FindSum(n);
}

 此处的代码只是朴素dp的实现，用动态规划来解释，感觉比书上好理解多了....

参考：https://blog.csdn.net/k346k346/article/details/50988681