堆排序

二叉堆的本质是完全二叉树

大顶堆：每个节点的值都大于他的子节点

小顶堆：每个节点的值都小于他的子节点

二叉堆的根节点就是他的堆顶

堆的存储结构

虽然堆的数据结构是树，但是它并不是以链式结构存储的，而是顺序存储（数组）

通过数组下标可以定位父亲节点或者孩子节点，堆中的最后一个父亲节点就是（数组长度-1）/2，已知父亲节点的下标是n，那么孩子节点的下标就是2n+1和2n+2

堆排序的时间复杂度是O(nlogn)

堆排序思路

1.从下往上，找父亲节点，先找到堆中的最后一个父亲节点（ArrLen-1）/2，然后对他和他的叶子节点进行排序，方法如下：

　　求出两个叶子节点下标，判断两个叶子节点是否在数组范围内，然后挨个比对；

　　首先用父节点跟左孩子对比，如果父节点的值小于左孩子，那么最大值的下标就变成左孩子的下标，否则最大值下标就是父节点下标；

　　用右节点的值和最大值下标对应的节点进行对比，如果右节点更大，最大下标就变为右节点的下标，否则不变；

　　判断：如果最大节点下标不是父节点下标，说明父节点和他的子节点需要重新排序，父节点要和他的左孩子或者右孩子交换顺序，通过最大节点下标将父子节点中的值对换；

　　此时，最大值下标就表示换过位的子节点的位置，递归调用，以这个子节点为新的父节点，进行排序，此为一次循环。

2.之前找到的是堆中的最后一给父节点，因此需要向前遍历，将堆中的所有父节点进行排序。所作的操作就是：从（ArrLen-1）/2开始，向前遍历，每次遍历都进行排序操作，直到最终排到堆顶。

堆排序代码

#include<iostream>

using namespace std;

void BuildHeap(int ArrLen,int* Array);
void MaxHeapify(int ArrLen,int* Array,int Index);

int main(void)
{
    int* Array;
    int ArrLen;
    cin >> ArrLen;
    Array = new int[ArrLen];
    
    for (int i = 0; i < ArrLen; ++i)
        cin >> Array[i];

    BuildHeap(ArrLen, Array);

    for (int i = 0; i < ArrLen; ++i)
        cout << Array[i] << " ";

    system("pause");
    return 0;
}

void BuildHeap(int ArrLen,int* Array)
{
    // 从最后一个节点的父节点往上调整
    for (int i = (ArrLen-1)/2; i >=0; --i)
        MaxHeapify(ArrLen,Array,i);
}

void MaxHeapify(int ArrLen,int* Array,int Index)
{
    //cout << "Array Index" << Index << endl;

    int Left = Index * 2 + 1;
    int Right = Index * 2 + 2;
    int MaxIndex,Temp;

    if (Left < ArrLen&&Array[Index] < Array[Left])
    {
        MaxIndex = Left;
    }
    else
        MaxIndex = Index;

    if (Right < ArrLen&&Array[MaxIndex] < Array[Right])
        MaxIndex = Right;
    //cout << "Max Index" << MaxIndex << endl;
    if (MaxIndex != Index)
    {
        Temp = Array[Index];
        Array[Index] = Array[MaxIndex];
        Array[MaxIndex] = Temp;
        MaxHeapify(ArrLen, Array, MaxIndex);
    }

}

拓展：

求数组中第K大的数

1.使用堆排序来做就是在一次堆排序中，将最大值排到堆顶，然后将堆顶与堆底调换位置（数组的第一个元素和最后一个元素交换位置）

2.再进行堆排序，不理最后一个数（就是冒出来的堆顶），堆排序的长度缩减为原来的ArrLen-1（这样最后一个元素就不参与堆排序了）

3.循环执行k次，即可得到第k大的数

#include<iostream>

using namespace std;

void BuildHeap(int ArrLen,int* Array);
void MaxHeapify(int ArrLen,int* Array,int Index);
int KLargest(int ArrLen, int* Array, int K);

int main(void)
{
    int* Array;
    int ArrLen;
    cin >> ArrLen;
    Array = new int[ArrLen];
    
    for (int i = 0; i < ArrLen; ++i)
        cin >> Array[i];

    BuildHeap(ArrLen, Array);

    /*for (int i = 0; i < ArrLen; ++i)
        cout << Array[i] << " ";*/

    int K;
    cin >> K;
    cout << KLargest(ArrLen, Array, K);

    system("pause");
    return 0;
}

int KLargest(int ArrLen, int* Array, int K)
{
    int PopValue;
    for (int i = 0; i < K; ++i)
    {
        BuildHeap(ArrLen + 1 - K, Array);
        for (int j = 0; j < ArrLen; ++j)
            cout << Array[j] << " ";
        cout << endl;

        PopValue = Array[0];
        int Temp;
        Temp = Array[ArrLen - i-1];
        Array[ArrLen - i-1] = Array[0];
        Array[0] = Temp;

        for (int j = 0; j < ArrLen; ++j)
            cout << Array[j] << " ";
        cout << endl;

    }
    return PopValue;
}


void BuildHeap(int ArrLen,int* Array)
{
    // 从最后一个节点的父节点往上调整
    for (int i = (ArrLen-1)/2; i >=0; --i)
        MaxHeapify(ArrLen,Array,i);
}

void MaxHeapify(int ArrLen,int* Array,int Index)
{
    //cout << "Array Index" << Index << endl;

    int Left = Index * 2 + 1;
    int Right = Index * 2 + 2;
    int MaxIndex,Temp;

    if (Left < ArrLen&&Array[Index] < Array[Left])
    {
        MaxIndex = Left;
    }
    else
        MaxIndex = Index;

    if (Right < ArrLen&&Array[MaxIndex] < Array[Right])
        MaxIndex = Right;
    //cout << "Max Index" << MaxIndex << endl;
    if (MaxIndex != Index)
    {
        Temp = Array[Index];
        Array[Index] = Array[MaxIndex];
        Array[MaxIndex] = Temp;
        MaxHeapify(ArrLen, Array, MaxIndex);
    }

}