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  • Bzoj2818 Gcd(莫比乌斯反演)

    题面

    题意都在题目里面了

    题解

    你可以把题意看成这个东西

    $$ sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mmathbf f(gcd(i,j)) $$

    其中$mathbf f(n)$为$是否是一个质数[n是否是一个质数]$

    然后把$mathbf f$反演一下,找到一个$mathbf g$令$mathbf f=mathbf 1 ast mathbf g$,即:

    $$ mathbf g(n)=sum_{dmid n}mu(frac nd)cdot mathbf f(d)=sum_{dmid n, d in prime}mu (frac nd) $$

    所以$mathbf g$可以这样求:

    for(int j = 1; j <= cnt; ++j)
        for(int i = 1; i * prime[j] <= n; ++i)
            g[i * prime[j]] += mu[i];
    

    就是枚举系数。

    接着考虑怎么做:

    由于$gcd$有一个很好的性质:

    $dmid gcd(i,j) Leftrightarrow dmid i, dmid j$

    所以

    $$ sum_{i=1}^nsum_{j=1}^nsum_{dmid i,dmid j}mathbf g(d) \ =sum_{d=1}^{min(n,m)}mathbf g(d)sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[dmid i][dmid j] \ =sum_{d=1}^{min(n,m)}mathbf g(d) lfloorfrac nd floorlfloorfrac md floor $$

    然后就可以整除分块了!!

    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    using std::min; using std::max;
    using std::swap; using std::sort;
    typedef long long ll;
    
    template<typename T>
    void read(T &x) {
        int flag = 1; x = 0; char ch = getchar();
        while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') flag = -flag; ch = getchar(); }
        while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); x *= flag;
    }
    
    const int N = 1e7 + 10;
    int t, n, m, mu[N], g[N], prime[N], cnt;
    long long sum[N], ans; bool notprime[N];
    
    void getmu(int k) {
    	mu[1] = 1;
    	for(int i = 2; i <= k; ++i) {
    		if(!notprime[i]) prime[++cnt] = i, mu[i] = -1;
    		for(int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= k; ++j) {
    			notprime[prime[j] * i] = true;
    			if(!(i % prime[j])) break;
    			mu[prime[j] * i] = -mu[i];
    		}
    	}
    	for(int j = 1; j <= cnt; ++j)
    		for(int i = 1; i * prime[j] <= k; ++i)
    			g[i * prime[j]] += mu[i];
    	for(int i = 1; i <= k; ++i)
    		sum[i] = sum[i - 1] + 1ll * g[i];
    }
    
    int main () {
    	read(n), getmu(n);
    	for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
    		r = n / (n / l);
    		ans += (sum[r] - sum[l - 1]) * (n / l) * (n / l);
    	} printf("%lld
    ", ans);
        return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/water-mi/p/10184348.html
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