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也谈最长不降子序列的长度

题目是一本通网站（ybt.ssoier.cn:8088）中1259：【例9.3】求最长不下降序列

【题目描述】

设有由 $n (1 \leq n \leq 200)$

$n (1 \leq n \leq 200)$

例如13，7，9，16，38，24，37，18，44，19，21，22，63，15。

例中13，16，18，19，21，22，63就是一个长度为7的不下降序列，

同时也有7 ，9，16，18，19，21，22，63组成的长度为8的不下降序列。

【输入】

第一行为n,第二行为用空格隔开的n个整数。

【输出】

第一行为输出最大个数max(形式见样例)；

第二行为max个整数形成的不下降序列,答案可能不唯一，输出一种就可以了，本题进行特殊评测。

【输入样例】

13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15

【输出样例】

max=8
7 9 16 18 19 21 22 63

    其实这个题很多的网文都说到了，我也看了好久才看懂，然后把我的理解发
出来大家下，希望还没看懂别的博文的朋友这次能让你懂。在众多的网文中，
https://blog.csdn.net/sdz20172133/article/details/79265834
这位兄弟pxlsdz说的算比较详细的了，感谢你。

输入的序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
输入的值	13	7	9	16	38	24	37	18	44	19	21	22	63	15
不降序列的长度	1	1	2	3	4	4	5	4	6	5	6	7	8	3






    我们可以用数组来记录不降序列的长度一个一个数字的解释吧。第一个数13，
当然长度是1，就一个数嘛。第2个数7的长度也是1，共就两个数，7比13小，不
能形成长度为2的不降序列，就是1了。实际上这个时候可以理解为有两个序列了，
一个是13开头，一个是7开头。第3个数9，它可以接在7后面，不能接在13后面，
当然没必须再开一个新序列（不是最长嘛），所以是2。第4个数16可以接在13的
后面，那13的长度可以为2，但如果16接在9的后面，长度那形成的序列是7，9，
16，长度为3，显然应接在9后面，第5个数38接在16的后面，长度为4。这个时候
有一个长度为4的序列7，9，16，38。第6个数24，它不能接在38后面，但可以
接在16的后面，也就是如果要把24加入一个最长序列的话，那只是不要38了，
这将形成一个序列7，9，16，24，长度为4。第7个数37当然可以接在24的后面，
形成一个度为5的序列。（如果第7个数不是37，而是38，那39可以接在38后面，
也可以接在24的后面，那长度都一样）。第8个数18来了，它只能接在16的后面，
形成一个长度为4的序列。第9个数可以接在38、24、37、18的任何一个数的后
面，那接在谁的后面能获得最大长度呢？当然是37了，可以得长7，9，16，24，
37，44的序列，长度相比而言应该是最长的了。所以44的长度是6。接着19，21，
22当然顺次接到18的后面就好，所以长度分别为5，6，7。63应该可以接到44的
后面，长度为7，也可以接到22的后面，长度为8，那当然得往大的方面走了，所
以63的长度定为8。最后一个15只能接到9的后面，长度自然是3。每一个数的序
列长度实际上是把它与前面的数比较，找到比它小对应长度又最大的数就好（从
后面往前面找，长度也就是找数的升序+1）打擂记录最大长度就得到答案了。如
果要找出最长子序列，那就需要记录每一个数的前一个数了，当然记序号也可。

//求最长不降子序列长度，一本通网站1259题 
#include<iostream>
using namespace std;
int a[201],b[201],c[201],mx=1,mxn;
void pr(int x)
{
    if(b[x]>1)pr(c[x]);
    cout<<a[x]<<' ';
    return;
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        b[i]=1;
    }
    mxn=n;//如果最长不降子序列只有一个元素就输出最后一个元素 
    for(int i=2;i<=n;i++)
        for(int j=i-1;j>=1;j--)
            if(a[i]>=a[j]&&b[j]>=b[i])
            {
                b[i]=b[j]+1;
                if(mx<=b[i])mx=b[i],mxn=i;
                c[i]=j;
            }
    cout<<"max="<<mx<<endl;
    if(mx>1)pr(c[mxn]);//本可以直接pr(mxn),但最后会多一个空格 
    cout<<a[mxn];//为避免最后多一个空格，最后一个元素单独输出 
    return 0;
}

View Code

这种方法的时间复杂度是O(n^2)级，如果n较大，容易超时，可以用二分法搜索回以优化，可以把时间复杂度做到O(nlogn)，现提供“之江学院石”的朋友的代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[201], b[201], mx = 1, mxn, n;
int main()
{
    cin >> n >> a[0];
    b[0] = a[0];
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        int j = upper_bound(b, b+mx, a[i]) - b;
        if(j == mx)
            mx++, mxn = i;
        b[j] = a[i];
    }
    for(int i = mx-2, j = mxn-1; i >= 0; i--)
    {
        for(; a[j] < b[i] || a[j] > b[i+1]; j--);
        b[i] = a[j--];
    }
    printf("max=%d
", mx);
    for(int i = 0; i < mx; i++)
        printf("%d%c", b[i], i == mx - 1 ? '
' : ' ');
}