bzoj3997 [TJOI2015]组合数学

Description

 给出一个网格图，其中某些格子有财宝，每次从左上角出发，只能向下或右走。问至少走多少次才能将财宝捡完。此对此问题变形，假设每个格子中有好多财宝，而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝，至少走多少次才能把财宝全部捡完。

Input

 第一行为正整数T，代表数据组数。

每组数据第一行为正整数N，M代表网格图有N行M列，接下来N行每行M个非负整数，表示此格子中财宝数量，0代表没有

Output

 输出一个整数，表示至少要走多少次。

Sample Input

1
3 3
0 1 5
5 0 0
1 0 0

Sample Output

10

HINT 

 N<=1000,M<=1000.每个格子中财宝数不超过10^6

正解：$dilworth$定理+$dp$。

$dilworth$定理：最小链覆盖=最长反链。

这里的最长反链，就是最大独立集，而独立集的要求就是所有财宝从左下到右上排列。

于是我们可以直接写一个$O(nm)$的$dp$。

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long

using namespace std;

int g[1005][1005],n,m;
ll f[1005][1005];

il int gi(){
  RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
  while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
  if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
  while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return q*x;
}

il void work(){
  n=gi(),m=gi();
  for (RG int i=1;i<=n;++i){
    for (RG int j=1;j<=m;++j) g[i][j]=gi();
    for (RG int j=m;j;--j)
      f[i][j]=max(f[i-1][j+1]+g[i][j],max(f[i-1][j],f[i][j+1]));
  }
  printf("%lld
",f[n][1]); return;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("math.in","r",stdin);
  freopen("math.out","w",stdout);
#endif
  RG int T=gi();
  while (T--) work();
  return 0;
}