在一些数学公式的推导中，常会遇到 (d) / (partial) / (delta) (Delta) 等符号。它们背后分别代表的数学含义？
增量
设变量 (u) 从它的一个初值 (u_1) 变到终值 (u_2)，终值与初值的差 (u_2 - u_1) 就叫做变量 (u) 的增量，记作 (Delta u)，即
增量 (Delta u) 可以是正的，也可以是负的。
应该注意到：记号 (Delta u) 并不表示某个量 (Delta) 与变量 (u) 的乘积，而是一个整体不可分割的记号。
举例：
现在假定函数 (y = f(x)) 在点 (x_0) 的某一个邻域内是有定义的。当自变量 (x) 在这个邻域内从 (x_0) 变到 (x_0 + Delta x) 时，函数值（或因变量） (f(x)) 相应地从 (f(x_0)) 变到 (f(x_0 + Delta x))，因此，函数值（或因变量） (f(x)) 的对应增量为
习惯上也称 (Delta y) 为函数的增量。
由此，可以定义函数的连续性，如下：
设函数 (y = f(x)) 在点 (x_0)) 的某一个邻域内有定义，如果
那么就称函数 (y = f(x)) 在点 (x_0) 连续。
导数
导数的定义： 设函数 (y = f(x)) 在点 (x_0) 的某个邻域内有定义，当自变量 (x) 在 (x_0) 处取得增量 (Delta x) （点 (x_0 + Delta x) 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 (Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0))；如果 (Delta y) 与 (Delta x) 之比当 (Delta x o 0) 时的极限存在，那么称函数 (y = f(x)) 在点 (x_0) 处可导，并称这个极限为函数 (y = f(x)) 在点 (x_0) 处的导数，记为 (f'(x)) ，即
也可记作 (y'|_{x = x_0})，$$frac{dy}{dx}|_{x = x_0}$ 或 (frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0})。
可以看出，导数等于 增量 (Delta y) 和增量 (Delta x) 比值的极限。
函数的微分
微分的定义： 设函数 (y=f(x)) 在某区间内有定义，(x_0) 及 (x_0 + Delta x) 在这个区间内，如果函数的增量
可表示为
其中，(A) 是不依赖于 (Delta x) 的常数，那么，称函数 (y=f(x)) 在点 (x_0) 是可微的，而 (ADelta x) 叫做函数 (y = f(x)) 在点 (x_0) 相应于自变量增量 (Delta x) 的微分，即
注： 函数 (f(x)) 在点 (x_0) 可微的充要条件是函数 (f(x)) 在点 (x_0) 可导。
微分的意思是指，因变量的增量 (Delta y)，是自变量的增量 (Delta x) 的线性函数，且记作 (dy)。所以说，应该有如下关系：
增量 (Delta y) 是实实在在、真实的变化值。只是，只有当可导的时候，才能写成 (Delta y = A Delta x + mathit{o}(Delta x) = dy + mathit{o}(Delta x) = dy + mathit{o}(dy)) 。也就是说，微分，只是增量 (Delta y) 的一个近似值。
另外一点，在定义导数的时候，也是用增量 (Delta y) 与 (Delta x) 的比值来定义的，并不是用微分。只是，导数的值，刚好等于微分 (dy) 与 (dx) 的比值。
注二： 通常把自变量 (x) 的增量 (Delta x) 称为自变量的微分，记作 (dx)，即 (dx = Delta x)。于是，函数 (y = f(x)) 的微分又可记作为
从而有
这就是说，函数的微分 (dy) 与自变量的微分 (dx) 之商等于该函数的导数，因此，导数也叫作“微商”。
微分的几何意义
如下图所示，自变量的增量为 (Delta x = PR) ，因变量的增量为 (Delta y = RQ) 。那么，在 (x_0) 点作曲线的切线，则得到函数 (y=f(x)) 在点 (x_0) 相应于自变量增量 (Delta x) 的微分 (dy = RQ') 。
由此可见，对于可微函数 (y = f(x)) 而言，当 (Delta y) 是曲线 (y = f(x)) 上的点的纵坐标的增量时，(dy) 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。
只是，当 (|Delta x|) 很小时，$|Delta y - dy| 比 $|Delta x| 小得多。因此，在点 M 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段。这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想之一。
基本初等函数的微分公式与微分运算法则
从函数的微分表达式
可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘自变量的微分。那么，可得到如下的微分公式和微分运算法则：
（略）
偏导数
偏导数的定义： 设函数 (z=f(x,y)) 在点 ((x_0, y_0)) 的某一邻域内有定义，当 (y) 固定在 (y_0) 而 (x) 在 (x_0) 处有增量 (Delta x) 时，相应的函数有增量
如果
存在，那么称此极限为函数 (z = f(x, y)) 在点 ((x_0, y_0)) 处对 (x) 的偏导数，记作
如果函数 (z = f(x, y)) 在区域 (D) 内每一个点 ((x, y)) 处对 (x) 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 (x)，(y) 的函数，它就称为函数 (z = f(x, y)) 对自变量 (x) 的偏导函数，记作
类似地，可以定义函数 (z=f(x,y)) 对自变量 (y) 的偏导函数，记作
注：偏导数仍然是增量的比值。
偏导数的几何意义：偏导数 (f_x(x, y)) 的几何意义是曲面被平面 (y = y_0) 所截得的曲线在点 (x_0) 处的斜率。
偏微分 / 全微分
根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得
上面两式的左端分别叫做二元函数对 (x) 和对 (y) 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对 (x) 和对 (y) 的偏微分。
全增量： 设函数 (z = f(x,y)) 在点 (P(x, y)) 的某个邻域内有定义，(P'(x + Delta x, y+Delta y)) 为这个邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 (f(x+Delta x, y+Delta y) - f(x,y)) 为函数在点 (P) 对应于自变量增量 (Delta x) 和 (Delta y) 的全增量，记作 (Delta z) ，即
注：一般来说，计算全增量 (Delta z) 比较复杂。与一元函数的情形类似，我们希望用自变量的增量 (Delta x) 和 (Delta y) 的线性函数来近似地代替函数的全增量 (Delta z)，从而引入如下定义：
全微分的定义： 设函数 (z = f(x, y)) 在点 ((x, y)) 的某个邻域内有定义，如果函数在点 ((x, y)) 的全增量
可表示为
其中，(A) 和 (B) 不依赖于 (Delta x) 和 (Delta y) 而仅与 (x) 和 (y) 有关，( ho = sqrt{(Delta x)^2 +(Delta y)^2})，那么称函数 (z=f(x,y)) 在点 ((x,y)) 可微分，而 (ADelta x + BDelta y) 称为函数 (z=f(x,y)) 在点 ((x, y)) 的全微分，记作 (dz) ，即
可微与可导的关系
定理1： 如果函数 (z = f(x, y)) 在点 ((x, y)) 可微分，那么该函数在点 ((x, y)) 的偏导数 (frac{partial z}{partial x}) 与 (frac{partial z}{partial y}) 必定存在，且函数 (z = f(x, y)) 在点 ((x, y)) 的全微分为
定理2： 如果函数(z = f(x, y)) 的偏导数 (frac{partial z}{partial x}) 与 (frac{partial z}{partial y}) 在点 ((x, y)) 连续，那么该函数在该点可微分。
小结
总的来说，讲的是 增量、导数、微分 之间的关系。增量是变化的准确值，而微分，则是增量的一个近似值。导数，是该点处的斜率，也是增量比值的极限。