算法导论76对区间的模糊排序

题目：

考虑这样一种排序问题,即无法准确的知道等排序的各个数字到底是多大.对于其中的每个数字,我们只知道它落在实轴上的某个区间内.亦即,给定的 n 个形如[a_i, b_i ]的闭区间,其中a_i,≤b_i .算法的目标是对这些区间进行模糊排序(fuzzy-sort),亦即,产生各区间的一个排序<i₁, i₂, i₃, i₄,…i_n >,使得存在一个 c_j ∈[a_i, b_i ],满足c₁≤c₂≤…≤c_n .

a)       为n个区间的模糊排序设计一个算法,你的算法应该具有算法的一般结构,它可以快速排序左部端点(即各a_i ),也要能充分利用重叠区间来改善运行时间.(随着各区间重叠得越来越多,对各区间的排序的问题会变得越来越容易,你的算法应该能充分利用这种重叠.)

b)      证明: 在一般情况下,你的算法的区望运行时间为 O(n*lgn),但当所有的区间都重叠时,期望的运行时间为O(n) (亦即,当存在一个值 x, 使得对所有的 i, 都有x∈[a_i, b_i ] ).你的算法不应显式的检查这种情况,而是应当随着重叠量的增加,性能自然地有所改善.

思考：

借用快排的划分思路，以某个元素为主元，把区域划分成三段，第一段都小于主元，第二段都等于主元

重点是划分，区间如果重叠的部分，就把它们看做是相等的，并提取公共部分继续划分

a.end < b.start ==> a < b

a.start > b.end ==> a > b

其它情况 ==> a = b

为了避免类似于(2,2) (7,7) (1,8)这样的情况，相等时要提取公因子，并更新主元（主元不一等是某个元素）

具体解释都在代码中

代码：

#include <iostream> using namespace std; struct node { int start; int end; bool operator<(const node & b)const { return end < b.start; } bool operator==(const node & b)const { return (end >= b .start) && (start <= b.end); } bool operator>(const node & b)const { return start > b.end; } }; //划分结果：0 -> a小于主元，a+1 -> b-1等于主元，b -> length_A大于主元 struct divid { int a; int b; }; node A[11]; int length_A = 10; //按划分结果分三行显示 void Print(divid d) { int i = 1; if(d.a > 0) { for(i = 1; i <= d.a; i++) cout<<'('<<A[i].start<<','<<A[i].end<<") "; cout<<endl; i = d.a + 1; } if(d.b > 0) { for(; i < d.b; i++) cout<<'('<<A[i].start<<','<<A[i].end<<") "; cout<<endl; i = d.b; } if(i <= length_A) { for(; i <= length_A; i++) cout<<'('<<A[i].start<<','<<A[i].end<<") "; cout<<endl; } cout<<endl; } //交换 void Exchange(node &a, node &b) { node temp; temp = a; a = b; b = temp; } //划分是重点 divid Partition(node *A, int p, int r) { //先取任意一个元素为主元 node x = A[r]; int i = p-1, j = r+1, k = p; while(k <=r && k < j) { //如果小于主元，交换到前面 if(A[k] < x) { i++; Exchange(A[i], A[k]); k++; } //如果大于，交换到后面 else if(A[k] > x) { j--; Exchange(A[j], A[k]); //这里不能k++，因为交换过来的元素也可能大于主元 } else { //如果相等，不交换，但是要提取公因子 x.end = min(x.end, A[k].end); x.start = max(x.start, A[k].start); k++; } } //返回划分结果 divid ret = {i, j}; if(ret.a < p)ret.a = -1; if(ret.b > r)ret.b = -1; Print(ret); return ret; } void QuickSort(node *A, int p, int r) { if(p >= r) return; //把数组划分为三段 divid q = Partition(A, p, r); //如果存在第一段，对第一段排序 if(q.a > 0) QuickSort(A, p, q.a); //如果存在第三段，对第三段排序 if(q.b > 0) QuickSort(A, q.b, r); } int main() { int i, n; cin>>n; length_A = n; //init data by random for(i = 1; i <= length_A; i++) { A[i].start = rand() % 100; A[i].end = rand() % 100; if(A[i].start > A[i].end) swap(A[i].start, A[i].end); } divid d = {-1, -1}; Print(d); //sort QuickSort(A, 1, length_A); return 0; }