梯度下降

       梯度下降是迭代法的一种,可以用于求解最小二乘问题(线性和非线性都可以)。在求解机器学习算法的模型参数，即无约束优化问题时，梯度下降（Gradient Descent）是最常采用的方法之一，另一种常用的方法是最小二乘法。在求解损失函数的最小值时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数和模型参数值。反过来，如果我们需要求解损失函数的最大值，这时就需要用梯度上升法来迭代了。在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。

简介

      梯度：对于可微的数量场  

，以 为分量的向量场称为f的梯度或斜量。 [1] 梯度下降法(gradient descent)是一个最优化算法，常用于机器学习和人工智能当中用来递归性地逼近最小偏差模型。

求解过程

顾名思义，梯度下降法的计算过程就是沿梯度下降的方向求解极小值（也可以沿梯度上升方向求解极大值）。其迭代公式为

  

,其中  代表梯度负方向，

  

表示梯度方向上的搜索步长。梯度方向我们可以通过对函数求导得到，步长的确定比较麻烦，太大了的话可能会发散，太小收敛速度又太慢。一般确定步长的方法是由线性搜索算法来确定，即把下一个点的坐标看做是ak+1的函数，然后求满足f(ak+1)的最小值的 即可。

因为一般情况下，梯度向量为0的话说明是到了一个极值点，此时梯度的幅值也为0.而采用梯度下降算法进行最优化求解时，算法迭代的终止条件是梯度向量的幅值接近0即可，可以设置个非常小的常数阈值。

例如

举一个非常简单的例子，如求函数

  

的最小值。利用梯度下降的方法解题步骤如下：

1、求梯度，

 

 

2、向梯度相反的方向移动 
，如下 ，其中，

 

为步长。如果步长足够小，则可以保证每一次迭代都在减小，但可能导致收敛太慢，如果步长太大，则不能保证每一次迭代都减少，也不能保证收敛。

 

3、循环迭代步骤2，直到 的值变化到使得

  

在两次迭代之间的差值足够小，比如0.00000001，也就是说，直到两次迭代计算出来的

  

基本没有变化，则说明此时

  

已经达到局部最小值了。

 

4、此时，输出  ，这个

  

就是使得函数

  

最小时的

  

的取值 。

MATLAB如下。

%% 最速下降法图示
% 设置步长为0.1，f_change为改变前后的y值变化，仅设置了一个退出条件。
syms x;f=x^2;
step=0.1;x=2;k=0; %设置步长,初始值,迭代记录数
f_change=x^2; %初始化差值
f_current=x^2; %计算当前函数值
ezplot(@(x,f)f-x.^2) %画出函数图像
axis([-2,2,-0.2,3]) %固定坐标轴
hold on
while f_change>0.000000001 %设置条件，两次计算的值之差小于某个数，跳出循环
x=x-step*2*x; %-2*x为梯度反方向，step为步长，！最速下降法！
f_change = f_current - x^2 %计算两次函数值之差
f_current = x^2; %重新计算当前的函数值
plot(x,f_current,'ro','markersize',7) %标记当前的位置
drawnow;pause(0.2);
k=k+1;
end
hold off
fprintf('在迭代%d次后找到函数最小值为%e，对应的x值为%e\n',k,x^2,x)

 

缺陷

• 靠近极小值时收敛速度减慢。
• 直线搜索时可能会产生一些问题。
• 可能会“之字形”地下降。