建模学习第一天——层次分析法

层次分析法

对着课件手打，非自我总结，但属学习笔记。

• 层次分析法：AHP，建模比赛种最基础的模型之一，主要用于解决评价类问题。

• 解决评价类问题的三问：

  1、我们评价的目标是什么？

  2、我们为了达到这个目标有哪些可选的方案？

  3、评价的准则或者说指标是什么？(题目常常没有相关的数据和指标，因此需要我们根据背景材料、常识、网上收集到的参考资料进行综合分析确定最合适的指标。)

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• 对于各项指标的权重，因为受到很多影响因子的干扰，因此采用分而治之的思想，通过两两指标之间的比较来推算出权重。

• 但是矩阵种常常出现不一致的现象

• 当矩阵为正互反矩阵且各行各列之间成倍数关系时，矩阵为一致矩阵。

• 在层次分析法中，所构造的矩阵均为正互反矩阵，但是不一定为一致矩阵。因此使用判断矩阵求权重之前，必须要对判断矩阵进行一致性检验。

• 对于一致矩阵，有一个特征值tr(A)为n，其余特征值为0，且秩为1，当特征值为n时。特征向量为k[(frac{1}{a~11~}),(frac{1}{a~12~}),……,(frac{1}{a~1n~})]^T(k$ eq$0)。

• 当n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值λ_max=n,且当正互反矩阵A非一致时，一定满足λ_max>n。

  
  

• 一致性检验的步骤：

  • 第一步：计算一致性指标CI=(frac{λ~max~—n}{n—1})
    

  • 第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI
    

  • 第三步：计算一致性比例CR=(frac{CI}{RI})，如果CR<0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修改。
    

    CI = (Max_eig - n) / (n-1);
    RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
    % 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数
    CR=CI/RI(n);
    disp('一致性指标CI=');disp(CI);
    disp('一致性比例CR=');disp(CR);
    if CR<0.10
        disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
    else
        disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
    end
    

• 算术平均法求权重：

  • 第一步：将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和)

  • 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)

  • 第三步：将相加后得到的向量中的每个元素除以n得到权重向量。

    • 假设判断矩阵A=(left[egin{matrix}a~11~&a~12~&cdots&a~1n~\a~21~&a~22~&cdots&a~2n~\vdots&vdots&ddots&vdots\a~n1~&a~n2~&cdots&a~nn~end{matrix} ight])

      那么算术平均法求得的权重向量w_i=(frac{1}{n})(sum_{j=1}^n frac{a~ij~}{sum_{k=1}^na~kj~})(i=1,2,……,n)
      

  • [n,n]=size(A)
    Sum_A=sum(A);
    SUM_A=repmat(Sum_A,n,1);
    Stand_A=A./SUM_A;
    disp('算术平均法求权重的结果为：');
    disp(sum(Stand_A,2)./n)
    

    
    

• 几何平均法求权重：

  • 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量。

  • 第二步：将新的向量的每个分量开n次方。

  • 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量。

    • 假设判断矩阵A=(left[egin{matrix}a~11~&a~12~&cdots&a~1n~\a~21~&a~22~&cdots&a~2n~\vdots&vdots&ddots&vdots\a~n1~&a~n2~&cdots&a~nn~end{matrix} ight])

      那么几何平均法求得的权重向量(这个实在是写不出来)。

  
  

  [n,n]=size(A);
  Prduct_A = prod(A,2);
  Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
  disp('几何平均法求权重的结果为：');
  disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
  

  
  

• 特征值法求权重：

  • 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量。
  • 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重。

[V,D] = eig(A);
Max_eig = max(max(D));
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

• 善于利用EXCEL来减轻工作量

• 层次分析法：是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。

  
  
  

总结：

• 层次分析法的第一步：分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。

• 层次分析法第二步：两两比较构造判断矩阵。

• 层次分析法第三步：由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。

  • 清风建议：强烈建议大家在比赛时三种方法都使用：以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

    注：（1）一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验；

    ​ （2）在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算

    权重，视频中讲解的只是为了顺应计算过程。

• 层次分析法第四步：根据权重矩阵计算的分，进行排序。

• 层次分析法的局限性：

  • 评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。

    n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
    RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

    有时候根据需要可对RI表的1，2项进行修改。