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  • 单源最短路——Dijkstra算法

    定义概览

    Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。

    问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)

    算法描述

    1)算法思想:

    设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

    2)算法步骤:

    a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。

    b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

    c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

    d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

    执行动画过程如下图

    动图太快可以看下面的例子:


      

    重点需要理解这句拗口的”按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点vS中各顶点的最短路径长度不大于从源点vU中任何顶点的最短路径长度

     

    实际上,Dijkstra 算法是一个排序过程,就上面的例子来说,是根据A到图中其余点的最短路径长度进行排序,路径越短越先被找到,路径越长越靠后才能被找到,要找A到F的最短路径,我们依次找到了 
    A –> C 的最短路径 
    A –> C –> B 的最短路径 
    A –> C –> D 的最短路径 
    A –> C –> E 的最短路径 
    A –> C –> D –> F 的最短路径 

     

    为什么Dijkstra 算法不适用于带负权的图? 
    就上个例子来说,当把一个点选入集合S时,就意味着已经找到了从A到这个点的最短路径,比如第二步,把C点选入集合S,这时已经找到A到C的最短路径了,但是如果图中存在负权边,就不能再这样说了。举个例子,假设有一个点Z,Z只与A和C有连接,从A到Z的权为50,从Z到C的权为-49,现在A到C的最短路径显然是A –> Z –> C

    再举个例子:

     

    在这个图中,求从A到C的最短路,如果用Dijkstra根据贪心的思想,选择与A最接近的点C,长度为7,以后不再变化。但是很明显此图最短路为5。归结原因是Dijkstra采用贪心思想,不从整体考虑结果,只从当前情况考虑选择最优。

    4.代码模板

     1 #include<stdio.h>
     2 #include<string.h>
     3 #define inf 0x3f3f3f3f
     4 int map[110][110],dis[110],visit[110];
     5 /*
     6 关于三个数组:map数组存的为点边的信息,比如map[1][2]=3,表示1号点和2号点的距离为3
     7 dis数组存的为起始点与每个点的最短距离,比如dis[3]=5,表示起始点与3号点最短距离为5
     8 visit数组存的为0或者1,1表示已经走过这个点。
     9 */
    10 int n,m;
    11 int dijstra()
    12 {
    13     int i,j,pos=1,min,sum=0;
    14     memset(visit,0,sizeof(visit));//初始化为.,表示开始都没走过
    15     for(i=1; i<=n; ++i)
    16     {
    17         dis[i]=map[1][i];
    18     }
    19     visit[1]=1;
    20     dis[1]=0;
    21     for(i=1; i<n; i++)
    22     {
    23         min=inf;
    24         for(j=1; j<=n; ++j)
    25         {
    26             if(visit[j]==0&&min>dis[j])
    27             {
    28                 min=dis[j];
    29                 pos=j;
    30             }
    31         }
    32         visit[pos]=1;//表示这个点已经走过
    33         for(j=1; j<=n; ++j)
    34         {
    35             if(visit[j]==0&&dis[j]>dis[pos]+map[pos][j])//更新dis的值
    36                 dis[j]=dis[pos]+map[pos][j];
    37         }
    38     }
    39     return dis[n];
    40 }
    41 int main()
    42 {
    43     int i,j;
    44     while(~scanf("%d%d",&n,&m),n||m)//n表示n个点,m表示m条边
    45     {
    46         for(i=1; i<=n; ++i)
    47         {
    48             for(j=1; j<=n; ++j)
    49             {
    50                 map[i][j]=inf;//开始时将每条边赋为最大值
    51             }
    52         }
    53         int a,b,c;
    54         for(i=1; i<=m; ++i)
    55         {
    56             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    57             if(c<map[a][b])//防止有重边
    58                 map[a][b]=map[b][a]=c;
    59         }
    60         int count=dijstra();
    61         printf("%d
    ",count);
    62     }
    63     return 0;
    64 }

    邻接表实现:

     1 #include<stdio.h>
     2 #include<string.h>
     3 #include<vector>
     4 #include<algorithm>
     5 #define INF 0x3f3f3f3f
     6 using namespace std;
     7 struct node
     8 {
     9     int end;///终点
    10     int power;///权值
    11 } t;
    12 int n;///n为点数
    13 vector<node>q[500001];///邻接表储存图的信息
    14 int dis[500001];///距离
    15 int vis[500001];///标记数组
    16 void Dijkstra(int start,int end)
    17 {
    18     int i,len,j,pos;
    19     memset(vis,0,sizeof(vis));
    20     for(i=0; i<=n; i++)
    21     {
    22         dis[i]=INF;
    23     }
    24     len=q[start].size();
    25     for(i=0; i<len; i++)
    26     {
    27         if(q[start][i].power<dis[q[start][i].end])
    28         {
    29             dis[q[start][i].end]=q[start][i].power;
    30         }
    31     }///从起点开始的dis数组更新
    32     vis[start]=1;
    33     for(j=0; j<n-1; j++)
    34     {
    35         int pos,min=INF;
    36         for(i=1; i<=n; i++)
    37         {
    38             if(vis[i]!=0&&dis[i]<min)
    39             {
    40                 min=dis[i];
    41                 pos=i;///找到未访问节点中权值最小的
    42             }
    43         }
    44         vis[pos]=1;
    45         len=q[pos].size();///再次更新dis数组
    46         for(j=0; j<len; j++)
    47         {
    48             if(vis[q[pos][j].end]==0&&dis[q[pos][j].end]>q[pos][j].power+dis[pos])
    49             {
    50                 dis[q[pos][j].end] = q[pos][j].power+dis[pos];
    51             }
    52         }
    53     }
    54     printf("%d
    ",dis[end]);
    55 }
    56 int main()
    57 {
    58     int m,i;
    59     int begin,end,power;
    60     int a,b;
    61     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    62     {
    63         for(i=0; i<=n; i++)
    64         {
    65             q[i].clear();///将victor数组清空
    66         }
    67         for(i=0; i<m; i++)
    68         {
    69             scanf("%d%d%d",&begin,&end,&power);///输入
    70             t.end=end;
    71             t.power=power;
    72             q[begin].push_back(t);
    73             t.end=begin;///无向图
    74             t.power=power;
    75             q[end].push_back(t);
    76         }
    77         scanf("%d%d",&a,&b);///输入起点与终点
    78         Dijkstra(a,b);
    79     }
    80     return 0;
    81 }
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