摘自福星师哥的博客在这里给出链接https://blog.csdn.net/Akatsuki__Itachi/article/details/80719686
首先，迭代法解方程的实质是按照下列步骤构造一个序列x0,x1,…,xn,来逐步逼近方程f(x)=0的解:
1）选取适当的初值x0；
2）确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f(x)=0改写为x=φ(x)的等价形式；
3) 构造序列x0，x1，……，xn，即先求得x1=φ(x0)，再求x2=φ(x1)，……如此反复迭代，就得到一个数列x0， x1，……，xn，若这个数列收敛，即存在极值，且函数 φ(x)连续，则很容易得到这个极限值
举个例子：
求解方程： f(x) =x^3-x-1=0 在区间 （1，1.5）内的根。
首先我们将方程写成这种形式：
用初始根x0=1.5带入右端，可以得到
这时，x0和x1的值相差比较大，所以我们要继续迭代求解，将x1再带入公式得
直到我们我们得到的解的序列收敛，即存在极值的时候，迭代结束。
下面是这个方程迭代的次数以及每次xi的解（i=0,1,2....）
我们发现当k=7和8的时候，方程的解已经不再发生变化了，这时候我们就得到了此方程的近似解。
1 #define eps 1e-8 2 int main() 3 { 4 x0=初始近似根； 5 do{ 6 x1=x0; 7 x0=g(x1); //按特定的方程计算新的近似根 8 }while(fabs(x0-x1)>eps); 9 printf("方程的近似根是%f ",x0); 10 }
注意：如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，那么迭代过程就会变成死循环。因此，在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在算法中对迭代次数给予限制。
下面再写一个求解方程组的例子加深一下理解：
算法说明：
方程组解的初值X=（x0，x1，…，xn-1）,迭代关系方程组为：xi=gi(X)(i=0,1,…,n-1),w为解的精度,maxn为迭代次数。
算法如下：
算法核心：
1 int main() 2 { 3 for (i=0; i<n; i++) 4 x[i]=初始近似根; 5 do 6 { 7 k=k+1; 8 for(i=0; i<n; i++） 9 y[i]=x[i]; 10 for(i=0; i<n; i++) 11 x[i]=gi(X); //按特定的方程计算新的近似根 12 c=0; 13 for(i=0; i<n; i++) 14 c=c+fabs(y[i]-x[i]);//c要每次重新设初值为0 15 }while(c>eps and k<maxn ); 16 for(i=0; i<n; i++) 17 print("变量的近似根是"，x[i]); 18 }
选取初始向量
精确度为1e-8，迭代次数为100
求解代码如下：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #define eps 1e-8 6 using namespace std; 7 const int maxn=100; 8 double x[10],y[10]; 9 int main() 10 { 11 for(int i=1;i<=4;i++) 12 x[i]=0; 13 int cnt=0; 14 double c=0; 15 do{ 16 for(int i=1;i<=4;i++) 17 y[i]=x[i]; 18 for(int i=1;i<=4;i++) 19 { 20 x[1]=(6+x[2]-2*x[3])/10; 21 x[2]=(25+x[1]+x[3]-3*x[4])/11; 22 x[3]=(-11-2*x[1]+x[2]+x[4])/10; 23 x[4]=(15-3*x[2]+x[3])/8; 24 } 25 c=0; 26 for(int i=1;i<=4;i++) 27 c+=(fabs(y[i]-x[i])); 28 }while(c>eps&&cnt<maxn); 29 for(int i=1;i<=4;i++) 30 printf("x%d = %.4lf ",i,x[i]); 31 }
运行结果如下：
迭代法求解方程的过程是多样化的，比如二分逼近法求解，牛顿迭代法等。
下面就是效率比较高且比较常用的牛顿迭代法：
牛顿迭代法又称为切线法，它比一般的迭代法有更高的收敛速度，如下图所示。
首先, 选择一个接近函数f(x)零点的x0, 计算相应的f(x0)和切线斜率f'(x0)（这里f ' 表示函数f的导数）。然后我们计算穿过点 (x0,f (x0))且斜率为f '(x0)的直线方程
和x轴的交点的x的坐标，也就是求如下方程的解
将新求得交点的x坐标命名为x1。如图4所示，通常x1会比x0更接近方程f(x) = 0的解。接下来用x1开始下一轮迭代 .
迭代公式可化简为：
上式就是有名的牛顿迭代公式。已经证明, 如果f' 是连续的, 并且待求的零点x是孤立的, 那么在零点x周围存在一个区域, 只要初始值x0位于这个邻近区域内, 那么牛顿法必定收敛。
求形如ax^3+bx^2+cx+d=0方程根的算法，系数a、b、c、d的值依次为1、2、3、4，由主函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输出。
由以上的公式可得到代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #define eps 1e-8 6 using namespace std; 7 int main() 8 { 9 double a,b,c,d; 10 cin>>a>>b>>c>>d; 11 double x1=1,x,f,fx; 12 do{ 13 x=x1; 14 f=((a*x+b)*x+c)*x+d; 15 fx=(3*a*x+2*b)*x+c; 16 x1=x-f/fx; 17 }while(fabs(x1-x)>=eps); 18 printf("%.2lf",x1); 19 }
结果如下：
接下来说一下二分逼近法
用二分法求解方程f(x)=0根的前提条件是：f(x)在求解的区间[a,b]上是连续的，且已知f(a)与f(b)异号，即 f(a)*f(b)<0。
令[a0,b0]=[a,b]，c0=(a0+b0)/2，若f(c0)=0，则c0为方程f(x)=0的根；否则，若f(a0)与f(c0)异号，即
f(a0)*f(c0)<0，则令[a1,b1]=[a0,c0]；若f(b0)与f(c0)异号，即
f(b0)*f(c0)<0，则令[a1,b1]=[c0,b0]。
依此做下去，当发现f(cn)=0时，或区间[an,bn]足够小，比如| an-bn |<0.0001时，就认为找到了方程的根。
例：
用二分法求一元非线性方程f(x)= x^3/2+2x^2-8=0（其中^表示幂运算）在区间[0，2]上的近似实根r，精确到0.0001.
算法如下：
1 int main( ) 2 { 3 double x,x1=0,x2=2,f1,f2,f; 4 print(“input a,b (f(a)*f(b)<0)”); 5 input(a,b); 6 f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8; 7 f2=x2*x2*x2/2+2*x2*x2-8; 8 if(f1*f2>0) 9 { 10 printf("No root"); 11 return; 12 } 13 do{ 14 x=(x1+x2)/2; 15 f=x*x*x/2+2*x*x-8; 16 if(f=0) 17 break; 18 if(f1*f>0.0) 19 { 20 x1=x; 21 f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8; 22 } 23 else 24 x2=x; 25 } 26 while(fabs(f)>=1e-4); 27 print("root=",x); 28 }