首先，得先了解什么是回文串。回文串就是正反读起来就是一样的，如“abcdcba”。我们要是直接采用暴力方法来查找最长回文子串，时间复杂度为O（n^3）,好一点的方法是枚举每一个字符，比较较它左右距离相邻的点是否相等，我们姑且称之为中心检测法，时间复杂度为O（n^2）。
当我们遇到字符串为“aaaaaaaaa”，之前的算法就会发生各个回文相互重叠的情况，会产生重复计算，然后就产生了一个问题，能否改进？答案是能，1975年，一个叫Manacher发明了Manacher Algorithm算法，俗称马拉车算法，其时间复杂为O(n)。该算法是利用回文串的特性来避免重复计算的。
在中心检测法中，我们在遍历的过程要考虑到回文串长度的奇偶性，比如说“abba”的长度为偶数，“abcba”的长度为奇数，这样在寻找最长回文子串的过程要分别考奇偶的情况，是否可以统一处理了？
Manacher算法：
一）第一步是改造字符串S，变为T，其改造的方法如下：
在字符串S的字符之间和S的首尾都插入一个“#”，如：S=“abba”变为T="#a#b#b#a#" 。我们会发现S的长度是4，而T的长度为9，长度变为奇数了！！那S的长度为奇数的情况时，变化后的长度还是奇数吗？我们举个例子，S=“abcba”，变化为T=“#a#b#c#b#a#”，T的长度为11，所以我们发现其改造的目的是将字符串的长度变为奇数，这样就可以统一的处理奇偶的情况了。
二）第二步，为了改进回文相互重叠的情况，我们将改造完后的T[ i ] 处的回文半径存储到数组P[ ]中，P[ i ]为新字符串T的T[ i ]处的回文半径，表示以字符T[i]为中心的最长回文字串的最端右字符到T[i]的长度，如以T[ i ]为中心的最长回文子串的为T[ l, r ]，那么P[ i ]=r-i+1。这样最后遍历数组P[ ]，取其中最大值即可。若P[ i ]=1表示该回文串就是T[ i ]本身。举一个简单的例子感受一下：
数组P有一性质，P[ i ]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度 ，那就是P[i]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度，至于证明，首先在转换得到的字符串T中，所有的回文字串的长度都为奇数，那么对于以T[i]为中心的最长回文字串，其长度就为2*P[i]-1,经过观察可知，T中所有的回文子串，其中分隔符的数量一定比其他字符的数量多1，也就是有P[i]个分隔符，剩下P[i]-1个字符来自原字符串，所以该回文串在原字符串中的长度就为P[i]-1。
另外，由于第一个和最后一个字符都是#号，且也需要搜索回文，为了防止越界，我们还需要在首尾再加上非#号字符，实际操作时我们只需给开头加上个非#号字符，我就直接使用美元吧$,结尾不用加的原因是字符串的结尾标识为' '，等于默认加过了。这样原问题就转化成如何求数组P[ ]的问题了。
三）如何求数组P [ ]
从左往右计算数组P[ ]， Mi为之前取得最大回文串的中心位置，而R是最大回文串能到达的最右端的值。
1）当 i <=R时，如何计算 P[ i ]的值了？毫无疑问的是数组P中点 i 之前点对应的值都已经计算出来了。利用回文串的特性，我们找到点 i 关于 Mi 的对称点 j ，其值为 j= 2*Mi-i 。因，点 j 、i 在以Mi 为中心的最大回文串的范围内（[L ,R]），
a）那么如果P[j] <R-i （同样是L和j 之间的距离），说明，以点 j 为中心的回文串没有超出范围[L ,R]，由回文串的特性可知，从左右两端向Mi遍历，两端对应的字符都是相等的。所以P[ j ]=P[ i ]（这里得先从点j转到点i 的情况），如下图：
b)如果P[ j ]>=R-i （即 j 为中心的回文串的最左端超过 L），如下图所示。即，以点 j为中心的最大回文串的范围已经超出了范围[L ,R] ，这种情况，等式P[ j ]=P[ i ]还成立吗？显然不总是成立的！因，以点 j 为中心的回文串的最左端超过L，那么在[ L, j ]之间的字符肯定能在( j, Mi ]找到相等的，由回文串的特性可知，P[ i ] 至少等于R- i，至于是否大于R-i（图中红色的部分），我们还要从R+1开始一一的匹配，直达失配为止，从而更新R和对应的Mi以及P[ i ]。
2）当 i > R时，如下图。这种情况，没法利用到回文串的特性，只能老老实实的一步步去匹配。
总体看来，Manacher可以看出是中心检测法的一种优化，我们会发现如果把这一行代码删除
if(i<mx) { p[i]=min(p[2*id-i],mx-i); } else { p[i]=1; }
程序也是可以运行的，但这样是不是又变成了中心检测法了？我认为Manacher算法的最大优点在于利用回文串对称的性质，在处理p数组的时候，利用指针i,j的同步性，避免了匹配失败后的下标回退，因而将时间复杂度优化为了O(n)。
相应的代码如下：
1 char x[MAX]; 2 char s_new[MAX*2]; 3 int p[MAX*2]; 4 int Init() 5 { 6 int i,j,len; 7 len=strlen(x); 8 s_new[0]='$'; 9 s_new[1]='#'; 10 j=2; 11 for(i=0; i<len; i++) 12 { 13 s_new[j++]=x[i]; 14 s_new[j++]='#'; 15 } 16 s_new[j]=' '; 17 return j; 18 } 19 int Manacher() 20 { 21 int i; 22 int len=Init(); 23 int max_len=-1; 24 int id; 25 int mx=0; 26 for (i=1; i<len; i++) 27 { 28 if(i<mx) 29 { 30 p[i]=min(p[2*id-i],mx-i); 31 } 32 else 33 { 34 p[i]=1; 35 } 36 while (s_new[i-p[i]]==s_new[i+p[i]]) 37 { 38 p[i]++; 39 } 40 if(mx<i+p[i]) 41 { 42 id=i; 43 mx=i+p[i]; 44 } 45 } 46 for(i=1; i<len; i++) 47 { 48 if(max_len<p[i]-1) 49 { 50 max_len=p[i]-1; 51 } 52 } 53 return max_len; 54 }