[BZOJ2038] [2009国家集训队]小Z的袜子(hose) 莫队算法练习

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

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Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

表示蒟蒻并没有看出来是莫队（不熟练）。

先简述一下莫队算法，

莫队算法用于离线处理区间问题。当然它只能处理能在O（1）的时间从【l，r】转移到【l-1，r】【l+1，r】【l，r-1】【l，r+1】的问题。

具体思路如下：

设区间长度为n，

首先对查询进行分块，按照左端点的大小分成sqrt(n)块并按所属块排序，在每块内再按右端点的大小排序，之后从区间（0,0）一步一步移到排序好的下一个询问。然后将询问回复原序输出答案。

那么问题来了，时间复杂度是多少？

下面给出时间复杂度的证明：

首先，我们发现对于一个询问【l，r】我们能将其抽象为平面上的一个点（l,r）。

所以从一个询问走到下一个询问的时间是曼哈顿距离。

现在，我们已经分好了sqrt（n）块。

先考虑r，对于两个点，如果在同一个块，对于这两个点所处的块r单调，所以每一块r最多为O（n），由于有sqrt（n）个块，所以复杂度为O(n √n)

如果两个点在不同的块，r最多变化n，由于有√n块，所以复杂度为O(n√n)

再考虑l，如果两点在同一块，l变化不超过√n，如果两点不在同一块l变化同样不超过√n，由于有m个询问，所以时间复杂度为O（n√n）（n与m同级）

所以总复杂度为O（n√n）

下面是此题代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cmath>
 6 #include<algorithm>
 7 #define LL long long
 8 using namespace std;
 9 LL n,m;
10 LL c[50001];
11 struct ask
12 {
13     LL l,r,id,a,b;
14 }a[50001];
15 LL belong[50001];
16 LL size=0;
17 bool cmp(ask t1,ask t2)
18 {
19     if(belong[t1.l]==belong[t2.l]) return t1.r<t2.r;
20     return t1.l<t2.l;
21 }
22 bool cmp1(ask t1,ask t2){return t1.id<t2.id;}
23 LL ans=0;
24 LL s[50001];
25 void update(int now,int add)
26 {
27     if(s[c[now]]>0)
28         ans-=s[c[now]]*(s[c[now]]-1);
29     s[c[now]]+=add;
30     if(s[c[now]]>0)
31         ans+=s[c[now]]*(s[c[now]]-1);
32 }
33 LL gcd(LL x,LL y){return y==0?x:gcd(y,x%y);}
34 void solve()
35 {
36     LL l=1,r=0;
37     for(int i=1;i<=m;i++)
38     {
39         for(;r<a[i].r;r++) update(r+1,1);
40         for(;r>a[i].r;r--) update(r,-1);
41         for(;l<a[i].l;l++) update(l,-1);
42         for(;l>a[i].l;l--) update(l-1,1);
43         if(r==l){a[i].a=0,a[i].b=1;continue;}
44         a[i].a=ans,a[i].b=(r-l+1)*(r-l); 
45         LL g=gcd(a[i].a,a[i].b);
46         a[i].a/=g;
47         a[i].b/=g;
48     }
49 }
50 int main()
51 {
52     scanf("%lld%lld",&n,&m);
53     size=sqrt(n);
54     for(int i=1;i<=n;i++) belong[i]=(i-1)/size+1;
55     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&c[i]);
56     for(int i=1;i<=m;i++)
57     {
58         scanf("%lld%lld",&a[i].l,&a[i].r);
59         a[i].id=i;
60     }
61     sort(a+1,a+m+1,cmp);
62     solve();
63     sort(a+1,a+m+1,cmp1);
64     for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld/%lld
",a[i].a,a[i].b);
65 }

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