[BZOJ1096][ZJOI2007]仓库建设 斜率优化

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

题解：

考虑DP。

设f[i]表示在i建立仓库的最小费用，s[i]表示前i个工厂的产品数总和，t[i]表示到i为止，每个工厂的货物从1号工厂运到其原来的工厂的花费和。

则将j+1到i号工厂的货物全部运到i号工厂的花费为(s[i]-s[j])*x[i]-(t[i]-t[j])。

因此我们得到转移方程：f[i]=min(f[j]+(s[i]-s[j])*x[i]-(t[i]-t[j])+c[i]

这是考虑斜率优化，

设j>k，则当f[j]-f[k]+t[j]-t[k]<(s[j]-s[k])*x[i]时j比k优。

运用单调队列维护即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
int n;
long long d[1000001],w[1000001],c[1000001];
long long f[1000001];
long long s[1000001],t[1000001];
int q[1000001];
int head,tail;
long long up(int k,int j){return f[j]-f[k]+t[j]-t[k];}
long long down(int k,int j){return s[j]-s[k];}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&d[i],&w[i],&c[i]);
        s[i]=s[i-1]+w[i];
        t[i]=t[i-1]+w[i]*d[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(head<tail&&up(q[head],q[head+1])<down(q[head],q[head+1])*d[i])head++;
        int now=q[head];
        f[i]=f[now]+(s[i]-s[now])*d[i]-(t[i]-t[now])+c[i];
        while(head<tail&&up(q[tail-1],q[tail])*down(q[tail],i)>up(q[tail],i)*down(q[tail-1],q[tail])) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    cout<<f[n];
}